Lezione 4 — Campi ordinati e proprietà di ℝ

Data: venerdì 3 ottobre 2025 · Capitolo 1: I numeri · Videolezione: n. 4 della playlist ("Lezione 4", 1h36)

Argomenti trattati

1. $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$ campi totalmente ordinati: assiomi di campo (somma, prodotto, distributiva), $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ non sono campi; differenza e divisione; insiemi ordinati e totalmente ordinati; compatibilità tra ordine e operazioni; le regole di equazioni e disequazioni come conseguenze. Esempio: $(\mathcal{P}(X), \subseteq)$ è ordinato ma non totalmente.
2. Tre proprietà di $\mathbb{R}$ (equivalenti, che $\mathbb{Q}$ non ha): continuità, separazione, esistenza dell'estremo superiore. $\mathbb{Q}$ non ha la separazione (esempio con $x^2 < 2$ e $x^2 > 2$).
3. Premesse: teorema di densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$, principio di Archimede; insiemi finiti e infiniti ($\mathbb{N}$ e $[0, 1)$ sono infiniti).
4. Inizio di estremo superiore e inferiore: insiemi limitati e illimitati, maggioranti e minoranti, $\inf = -\infty$ e $\sup = +\infty$; esempi $E_1 = \{1,2,3\}$, $E_2 = [0, 1)$, $E_3 = \{x \in \mathbb{Q} : x < 3\}$ (con dimostrazione che $\inf E_3 = -\infty$); "finito $\Rightarrow$ limitato" ma non viceversa.

Teoria

• Campi ordinati (Q e R)Gli assiomi di somma, prodotto e ordine comuni a Q e R, da cui derivano le regole di equazioni e disequazioni.Campi ordinati (Q e R) → — assiomi di campo e d'ordine, regole delle disequazioni
• Completezza di R (continuità, separazione, sup)Le tre proprietà equivalenti che R ha e Q no: continuità, separazione ed esistenza del sup; densità di Q in R.Completezza di R (continuità, separazione, sup) → — le tre proprietà, ℚ non ha la separazione, densità e Archimede
• Insiemi e insieme delle partiCome si descrive un insieme, sottoinsiemi, uguaglianza, insieme delle parti e insiemi finiti e infiniti.Insiemi e insieme delle parti → — sezione "Insiemi finiti e infiniti"
• Estremo superiore (sup)Maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore (il più piccolo dei maggioranti) e inferiore, con la caratterizzazione con epsilon.Estremo superiore (sup) → — sezione "Insiemi limitati e illimitati"
• Archimedeità di NPer ogni numero reale esiste un naturale più grande: serve a trovare n con 1/n più piccolo di qualunque epsilon.Archimedeità di N →

Esercizi

• Esercizio 13 - razionali minori di 3 — l'esempio $E_3$: $\inf = -\infty$ (lezione 4) e $\sup = 3$ (lezione 5)

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