Funzioni trigonometriche e loro inverse

Lezione 11. Prerequisiti: Funzioni periodicheUna funzione è periodica di periodo T se si ripete uguale dopo ogni intervallo di lunghezza T: basta studiarla su un intervallo lungo T.Funzioni periodiche →, Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →, Funzioni iniettive, suriettive e inverseIniettività (test delle rette orizzontali), suriettività, biunivocità e funzione inversa con il suo grafico simmetrico rispetto a y = x.Funzioni iniettive, suriettive e inverse →. Esercizi svolti: Esercizio 28 - studio di arcsin(sin x), Esercizio 27 - dominio e segno con l'arcocoseno.

La circonferenza goniometrica e i radianti

La prof dà la definizione "intuitiva". Si considera la circonferenza goniometrica (o trigonometrica): centro nell'origine $O = (0, 0)$, raggio $r = 1$. Si parte dal punto $(1, 0)$ e si gira in senso antiorario di un angolo $\vartheta$, arrivando a un punto $P = (X, Y)$ della circonferenza.

Radianti. L'angolo non si misura in gradi ma in radianti: la misura in radianti $x$ è la lunghezza dell'arco di circonferenza (di raggio $1$) percorso da $(1, 0)$ a $P$. Il giro completo è lungo $2\pi$ (circonferenza di raggio $1$), quindi $360° = 2\pi$. Formula di conversione:

$$x : \vartheta° = \pi : 180° \qquad \Longleftrightarrow \qquad x = \frac{\pi}{180°}\, \vartheta°$$

Per $x \in [0, 2\pi)$ c'è una corrispondenza biunivoca tra l'angolo $x$ e il punto $P = (X, Y)$ della circonferenza.

Seno e coseno

$$\cos x = X \ (\text{ascissa di } P) \qquad \sin x = Y \ (\text{ordinata di } P) \qquad x \in [0, 2\pi)$$

Muovendo $P$ lungo la circonferenza si ottengono i grafici su $[0, 2\pi)$; poi si estendono a tutto $\mathbb{R}$ per periodicità con periodo $T = 2\pi$ (fare un giro in più riporta nello stesso punto). Si ottengono $y = \sin x$ e $y = \cos x$ definite per ogni $x \in \mathbb{R}$.

Proprietà principali

• Limitate: $-1 \le \sin x \le 1$ e $-1 \le \cos x \le 1$ (coordinate di un punto di una circonferenza di raggio $1$).
• $2\pi$-periodiche: $\cos(x + 2k\pi) = \cos x$, $\sin(x + 2k\pi) = \sin x$ per ogni $x \in \mathbb{R}$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Identità trigonometrica fondamentale: $$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \qquad \forall x \in \mathbb{R}$$ (è il teorema di Pitagora: $P = (\cos x, \sin x)$ sta sulla circonferenza $X^2 + Y^2 = 1$).
• Simmetrie: $\cos(-x) = \cos x$ (pari), $\sin(-x) = -\sin x$ (dispari). Sulla circonferenza: l'angolo $-x$ si ottiene riflettendo $P$ rispetto all'asse $X$, che lascia uguale l'ascissa e cambia segno all'ordinata.
• Spostamenti di $\pi$: $\cos(x \pm \pi) = -\cos x$, $\sin(x \pm \pi) = -\sin x$ (mezzo giro porta $P$ nel punto opposto).
• Spostamenti di $\frac{\pi}{2}$: $\cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin x$, $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x$.

Le altre formule (addizione e sottrazione, duplicazione, bisezione…) sono nel formulario.

Valori da sapere:

Tangente

$$\tan x = \mathrm{tg}\, x = \frac{\sin x}{\cos x} \qquad x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi, \ k \in \mathbb{Z}\right\}$$

(si tolgono i punti dove $\cos x = 0$).

• Dispari: $\tan(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$.
• $\pi$-periodica: $\tan(x + \pi) = \frac{\sin(x + \pi)}{\cos(x + \pi)} = \frac{-\sin x}{-\cos x} = \tan x$. (Il periodo è $\pi$, non $2\pi$.)
• Quindi per disegnarla basta studiarla su $\mathrm{dom} \cap \left[0, \frac{\pi}{2}\right] = \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$: lì cresce da $0$ e sale senza limite avvicinandosi a $x = \frac{\pi}{2}$. Poi simmetria (dispari) e periodicità.

Significato geometrico (per $x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$). Sulla retta verticale $X = 1$ (tangente alla circonferenza in $(1, 0)$) il prolungamento del raggio $OP$ taglia un segmento di altezza $T$. Per la similitudine dei triangoli, $T : 1 = \sin x : \cos x$, cioè $T = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.

Le funzioni trigonometriche inverse

Nessuna funzione periodica è iniettiva (vedi Funzioni periodicheUna funzione è periodica di periodo T se si ripete uguale dopo ogni intervallo di lunghezza T: basta studiarla su un intervallo lungo T.Funzioni periodiche →), quindi seno, coseno e tangente non sono invertibili sul loro dominio. Si invertono le loro restrizioni a intervalli scelti per convenzione, dove sono strettamente monotone.

1. Arcoseno. $\sin : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \to [-1, 1]$ è strettamente crescente e suriettiva. La sua inversa è

$$\arcsin : [-1, 1] \to \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$

strettamente crescente e dispari. $\arcsin y$ è "l'angolo tra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$ il cui seno è $y$". Esempi: $\arcsin 0 = 0$, $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$, $\arcsin \frac12 = \frac{\pi}{6}$.

2. Arcocoseno. $\cos : [0, \pi] \to [-1, 1]$ è strettamente decrescente e suriettiva. L'inversa è

$$\arccos : [-1, 1] \to [0, \pi]$$

strettamente decrescente. Esempi: $\arccos(-1) = \pi$, $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$, $\arccos 1 = 0$.

3. Arcotangente. $\tan : \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \to \mathbb{R}$ è strettamente crescente, dispari e suriettiva. L'inversa è

$$\arctan : \mathbb{R} \to \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$

strettamente crescente e dispari, con il grafico chiuso tra le rette $y = -\frac{\pi}{2}$ e $y = \frac{\pi}{2}$. Esempi: $\arctan 0 = 0$, $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$.

Attenzione: non sono le inverse "vere" di $\sin$, $\cos$, $\tan$

Sono le inverse delle restrizioni. Dalla caratterizzazione dell'inversa:

• $\sin(\arcsin x) = x$ per ogni $x \in [-1, 1]$ ✓;
• $\arcsin(\sin x) = x$ solo per $x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, non per ogni $x \in \mathbb{R}$!

Per esempio $\arcsin(\sin \pi) = \arcsin 0 = 0 \ne \pi$. Lo studio completo di $\arcsin(\sin x)$ è nell'Esercizio 28 - studio di arcsin(sin x).

Errori comuni

• Usare i gradi nelle formule: in Analisi gli angoli sono sempre in radianti.
• Scrivere $\arcsin(\sin x) = x$ per ogni $x$.
• Dimenticare il dominio di $\arcsin$ e $\arccos$: l'argomento deve stare in $[-1, 1]$.
• Dimenticare che $\arccos$ è decrescente (nelle disequazioni il verso si inverte).