Esercizio 22

Testo (Lezione 10, esercizio 3 del foglio). Determinare $f^{\leftarrow}([0, +\infty))$ per

$$f_1(x) = \sqrt[3]{2x^2 + x} - x \qquad\qquad f_2(x) = \sqrt{2x^2 + x} - x$$

Passo 0: cosa si chiede

L'antimmagine di $[0, +\infty)$L'insieme delle $x$ del dominio in cui $f(x) \ge 0$: in pratica si studia il segno di $f$.Disequazioni con potenze e radici → è

$$f^{\leftarrow}([0, +\infty)) = \{x \in \mathrm{Dom}(f) : f(x) \ge 0\} \iff \begin{cases} x \in \mathrm{Dom}(f) \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$$

cioè si risolve la disequazione $f(x) \ge 0$ (vedi la tabella delle antimmagini in Funzioni - definizione, dominio e graficoUna funzione associa a ogni elemento del dominio un solo valore: dominio naturale, grafico, immagine, antimmagine e metodo grafico.Funzioni - definizione, dominio e grafico →). Le due funzioni differiscono solo per l'indice della radice ($3$ contro $2$), ma si risolvono in modo diverso.

1. $f_1(x) = \sqrt[3]{2x^2 + x} - x$

Dominio: la radice cubicaRadice di indice dispari: definita per ogni numero reale.Funzioni potenza → è definita su tutto $\mathbb{R}$, quindi $\mathrm{Dom}(f_1) = \mathbb{R}$.

Disequazione: $\sqrt[3]{2x^2 + x} - x \ge 0 \iff \sqrt[3]{2x^2 + x} \ge x$.

Eleviamo al cubo entrambi i membri: è lecito senza condizioni perché $t \mapsto t^3$ è strettamente crescente su tutto $\mathbb{R}$Si può applicare ai due membri senza cambiare il verso e senza controllare i segni.Disequazioni con potenze e radici →:

$$2x^2 + x \ge x^3 \iff x^3 - 2x^2 - x \le 0 \iff x\,(x^2 - 2x - 1) \le 0$$

Studio del segno del prodottoIl segno di un prodotto si ricava dai segni dei fattori: è positivo se hanno lo stesso segno, negativo se discordi. $F_1 \cdot F_2$, con $F_1 = x$ e $F_2 = x^2 - 2x - 1$:

• $F_1 \ge 0 \iff x \ge 0$;
• $F_2 \ge 0$: radici $x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + 1} = 1 \pm \sqrt2$ (formula ridottaPer $x^2 + bx + c = 0$ con $b$ pari: $x = -\frac b2 \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} - c}$.); parabola verso l'alto, quindi $F_2 \ge 0 \iff x \le 1 - \sqrt2$ oppure $x \ge 1 + \sqrt2$.

Ordine dei punti: $1 - \sqrt2 \approx -0{,}414 < 0 < 1 + \sqrt2 \approx 2{,}414$.

Il prodotto è $\le 0$ nelle zone con il segno $-$, estremi inclusi:

$$f_1^{\leftarrow}([0, +\infty)) = (-\infty, 1 - \sqrt2] \cup [0, 1 + \sqrt2]$$

Controllo: $x = 1$: $\sqrt[3]{3} - 1 \approx 0{,}44 \ge 0$ ✓; $x = 3$: $\sqrt[3]{21} - 3 \approx -0{,}24 < 0$ ✓ (escluso); $x = -1$: $\sqrt[3]{1} + 1 = 2 \ge 0$ ✓.

2. $f_2(x) = \sqrt{2x^2 + x} - x$

Dominio: radice quadrata, serve $2x^2 + x \ge 0 \iff x(2x + 1) \ge 0 \iff x \le -\frac12$ oppure $x \ge 0$.

Disequazione: $\sqrt{2x^2 + x} \ge x$, cioè la forma $B(x) \le \sqrt{A(x)}$ con $A = 2x^2 + x$ e $B = x$. Si usa lo schema della radice maggioreSe $B < 0$ la disuguaglianza è vera appena la radice esiste; se $B \ge 0$ si può elevare al quadrato.Disequazioni con potenze e radici →:

$$\begin{cases} A(x) \ge 0 \\ B(x) < 0 \end{cases} \ \cup \ \begin{cases} B(x) \ge 0 \\ B^2(x) \le A(x) \end{cases} \iff \begin{cases} x(2x + 1) \ge 0 \\ x < 0 \end{cases} \ \cup \ \begin{cases} x \ge 0 \\ x^2 \le 2x^2 + x \end{cases}$$

Primo sistema (I): $x \le -\frac12$ oppure $x \ge 0$, insieme a $x < 0$: resta $x \le -\frac12$.

Secondo sistema (II): $x^2 \le 2x^2 + x \iff 0 \le x^2 + x = x(x + 1)$, vera per $x \le -1$ oppure $x \ge 0$; insieme a $x \ge 0$: resta $x \ge 0$.

UnioneLe soluzioni sono quelle del sistema (I) insieme a quelle del sistema (II).Operazioni tra insiemi →:

$$f_2^{\leftarrow}([0, +\infty)) = \left(-\infty, -\tfrac12\right] \cup [0, +\infty)$$

cioè tutto il dominio: $f_2 \ge 0$ ovunque sia definita. (Per $x < 0$ è ovvio: radice meno un negativo; per $x \ge 0$ perché $2x^2 + x \ge x^2$.)

Attenzione: errore frequente

$\sqrt{2x^2 + x} \ge x \iff 2x^2 + x \ge x^2$ è errato: elevare al quadrato richiede che entrambi i membri siano $\ge 0$, mentre qui $x$ può essere negativo. In questo esercizio l'errore si "nasconde" (il risultato sbagliato $x(x+1) \ge 0$, intersecato col dominio, darebbe $(-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$, perdendo le soluzioni $-1 < x \le -\frac12$): per esempio $x = -\frac34$ sta nel dominio ($2 \cdot \frac{9}{16} - \frac34 = \frac38 \ge 0$) e $f_2(-\frac34) = \sqrt{\frac38} + \frac34 > 0$, ma sarebbe stato scartato.

Risultato