Estremo superiore (sup) ed estremo inferiore (inf)

sup = supremo (dal latino supremum, "il più alto"), detto anche estremo superiore. inf = infimo, estremo inferiore. Come si usano negli esercizi: Metodo - max min inf sup di un insiemeLa procedura passo per passo per trovare e dimostrare massimo, minimo, inf e sup di un insieme.Metodo - max min inf sup di un insieme →.

Il linguaggio di base

Insieme. Una collezione di numeri, per esempio $A = \{1, 3, 7\}$ oppure un intervallo. Un numero $x$ che ne fa parte si scrive $x \in A$.

Intervalli. Le parentesi dicono se gli estremi sono inclusi:

• $[a, b]$ = tutti i $x$ con $a \le x \le b$ (estremi inclusi, parentesi quadre);
• $[a, b)$ = tutti i $x$ con $a \le x < b$ (a incluso, b escluso, parentesi tonda).

Maggiorante. Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ non vuoto. Un numero $M$ è un maggiorante di $A$ se $x \le M$ per ogni $x \in A$ (sta sopra, o al massimo uguale, a tutti gli elementi). Un maggiorante non deve appartenere ad $A$, e di maggioranti ce ne sono molti: se $M$ è un maggiorante, lo è anche $M + 1$.

Minorante. Un numero $m$ è un minorante di $A$ se $m \le x$ per ogni $x \in A$.

Limitato superiormente / inferiormente. $A$ è limitato superiormente se ha almeno un maggiorante reale, limitato inferiormente se ha almeno un minorante reale. Se è limitato in entrambi i versi si dice semplicemente limitato.

Insiemi limitati e illimitati (come li definisce la prof)

Nelle lezioni 4 e 5 la prof lavora in un insieme $X \ne \emptyset$ totalmente ordinato (pensa a $X = \mathbb{R}$ o $X = \mathbb{Q}$, vedi Campi ordinati (Q e R)Gli assiomi di somma, prodotto e ordine comuni a Q e R, da cui derivano le regole di equazioni e disequazioni.Campi ordinati (Q e R) →) e con $E \subseteq X$, $E \ne \emptyset$. Usa la lettera $\ell$ per i minoranti e $L$ per i maggioranti.

Le ultime due righe sono le negazioni delle prime due, fatte con la regola "$\text{non}\,\exists = \forall\,\text{non}$" (vedi Logica e quantificatoriProposizioni, connettivi, predicati e quantificatori (per ogni, esiste), con le regole per negarli.Logica e quantificatori →): "non esiste un minorante" = "ogni $\ell$ non è un minorante" = "per ogni $\ell$ c'è un elemento sotto di lui".

Gli esempi della prof (in $X = \mathbb{R}$)

$E_1 = \{1, 2, 3\}$. Ogni $\ell \le 1$ è un minorante e ogni $L \ge 3$ è un maggiorante: $E_1$ è limitato.

$E_2 = [0, 1)$. Ogni $\ell \le 0$ è un minorante e ogni $L \ge 1$ un maggiorante: $E_2$ è limitato. Però $E_2$ è infinito (vedi la sezione sugli insiemi infiniti in Insiemi e insieme delle partiCome si descrive un insieme, sottoinsiemi, uguaglianza, insieme delle parti e insiemi finiti e infiniti.Insiemi e insieme delle parti →).

$E_3 = \{x \in \mathbb{Q} : x < 3\}$. Ogni $L \ge 3$ è un maggiorante, quindi $E_3$ è superiormente limitato. Non è inferiormente limitato: $\inf E_3 = -\infty$ (dimostrazione nell'Esercizio 13 - razionali minori di 3).

Finito $\Rightarrow$ limitato, ma limitato $\not\Rightarrow$ finito. Un insieme finito è sempre limitato (il più piccolo elemento è un minorante, il più grande un maggiorante). Il contrario è falso: $E_2 = [0, 1)$ è limitato ma infinito. Sono due concetti diversi.

Proprietà di maggioranti e minoranti

1. Possono non esistere (quando $\sup E = +\infty$ o $\inf E = -\infty$).
2. Se esistono, sono infiniti: se $L$ è un maggiorante, lo sono anche $L + 1$, $L + 2$, …
3. Possono appartenere o no a $E$: in $E_2 = [0, 1)$ il minorante $\ell = 0$ appartiene a $E_2$, mentre nessun maggiorante appartiene a $E_2$ (ogni maggiorante è $\ge 1$ e $1 \notin E_2$).

Poiché maggioranti e minoranti non sono unici, si cercano dei "rappresentanti" unici: massimo e minimo (quando ci sono) e, più in generale, sup e inf.

Massimo e minimo

• Se $E$ è inferiormente limitato ed esiste un minorante $\ell$ che appartiene a $E$, questo si chiama minimo di $E$: $\ell = \min E$.
• Se $E$ è superiormente limitato ed esiste un maggiorante $L$ che appartiene a $E$, questo si chiama massimo di $E$: $L = \max E$.

Negli esempi: $\min E_1 = 1$, $\max E_1 = 3$ (in generale ogni insieme finito ha min e max). $\min E_2 = 0$, ma $\max E_2$ non esiste (i maggioranti sono $\ge 1$ e nessuno sta in $[0,1)$). $E_3$ non ha né min né max.

Proprietà. (1) Min e max possono non esistere, anche se $E$ è limitato (come $\max [0,1)$). (2) Teorema: quando esistono, sono unici.

Dimostrazione dell'unicità (per il minimo; per il massimo è uguale). Supponiamo per assurdo che $E$ abbia due minimi $m_1 \ne m_2$. Per la caratterizzazione del minimo (più sotto):

• $m_1$ è un minorante e $m_2 \in E$, quindi $m_1 \le m_2$;
• $m_2$ è un minorante e $m_1 \in E$, quindi $m_2 \le m_1$.

Per la proprietà antisimmetrica dell'ordine, $m_1 = m_2$: contraddizione con $m_1 \ne m_2$ ∎.

L'idea: ciascuno dei due minimi deve stare sotto l'altro (perché l'altro è un elemento di $E$), quindi coincidono.

Perché serve il sup. $E_2 = [0, 1)$ non ha massimo, però $L = 1$ è "speciale": è la più piccola limitazione superiore. Questo numero si chiama estremo superiore: $\sup E_2 = 1$.

Definizione di sup

Il $\sup A$ è il più piccolo dei maggioranti di $A$.

In modo equivalente (e questa è la forma che si usa nelle dimostrazioni), $s = \sup A$ se valgono entrambe:

1. $s$ è un maggiorante: $x \le s$ per ogni $x \in A$.
2. Nessun numero più piccolo di $s$ è un maggiorante: per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $x \in A$ con $x > s - \varepsilon$.

Perché la 2 dice proprio questo. Il numero $s - \varepsilon$ è un numero un po' più piccolo di $s$. Se esiste un elemento $x$ di $A$ che lo supera, allora $s - \varepsilon$ non è un maggiorante. Poiché questo vale per ogni $\varepsilon > 0$ (cioè per ogni numero minore di $s$), nessun numero minore di $s$ è un maggiorante. Quindi $s$ è proprio il più piccolo.

Se $A$ non è limitato superiormente si scrive $\sup A = +\infty$.

Definizione di inf

Il $\inf A$ è il più grande dei minoranti di $A$.

Equivalentemente, $L = \inf A$ se:

1. $L$ è un minorante: $L \le x$ per ogni $x \in A$.
2. Per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $x \in A$ con $x < L + \varepsilon$.

La ragione è la stessa del sup, ribaltata: $L + \varepsilon$ è un po' più grande di $L$, e se un elemento di $A$ sta sotto di lui, allora $L + \varepsilon$ non è un minorante. Se $A$ non è limitato inferiormente si scrive $\inf A = -\infty$.

Gli esempi della prof

Proprietà di inf e sup

1. Se esiste $\min E$, allora esiste $\inf E = \min E$.
2. Se esiste $\max E$, allora esiste $\sup E = \max E$.
3. Quando esistono in $X$, $\inf E$ e $\sup E$ sono unici. Perché: $\inf E$ è il massimo dell'insieme dei minoranti e $\sup E$ è il minimo dell'insieme dei maggioranti, e massimo e minimo, quando esistono, sono unici (teorema sopra).

Esistono sempre? Se $X = \mathbb{R}$, sì: ogni insieme non vuoto e superiormente limitato ha sup in $\mathbb{R}$ (è la proprietà III di $\mathbb{R}$, vedi Completezza di R (continuità, separazione, sup)Le tre proprietà equivalenti che R ha e Q no: continuità, separazione ed esistenza del sup; densità di Q in R.Completezza di R (continuità, separazione, sup) →). Se $X = \mathbb{Q}$, no: l'esempio è $\{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}$, Esercizio 1 - sup dei razionali con x^2 minore di 2.

Caratterizzazione completa (riassunto della prof)

$$i = \inf E \in X \iff \begin{cases} 1.\ \ i \le x \quad \forall x \in E \\ 2.\ \ \forall \varepsilon > 0\ \exists x \in E : x < i + \varepsilon \end{cases} \qquad s = \sup E \in X \iff \begin{cases} 1.\ \ s \ge x \quad \forall x \in E \\ 2.\ \ \forall \varepsilon > 0\ \exists x \in E : x > s - \varepsilon \end{cases}$$

$$\inf E = -\infty \iff \forall \ell \in X\ \exists x \in E : x < \ell \qquad\qquad \sup E = +\infty \iff \forall L \in X\ \exists x \in E : x > L$$

"$\varepsilon$ piccolo a piacere" (osservazione importante per gli esercizi)

Nella condizione 2 basta considerare gli $\varepsilon$ piccoli (per esempio $\varepsilon < 1$, oppure $\varepsilon < s$). Perché: se la condizione vale per un certo $\varepsilon'$, vale automaticamente per ogni $\varepsilon > \varepsilon'$. Infatti se $x > s - \varepsilon'$ e $\varepsilon > \varepsilon'$, allora $-\varepsilon < -\varepsilon'$, quindi $s - \varepsilon < s - \varepsilon' < x$: lo stesso $x$ va bene. Gli $\varepsilon$ grandi sono "più facili" di quelli piccoli.

Allo stesso modo:

• per dimostrare $\inf E = -\infty$ basta trovare, per ogni $\ell$ piccolo a piacere (per esempio $\ell < 0$, o $\ell \le -10000$), un $x \in E$ con $x < \ell$;
• per dimostrare $\sup E = +\infty$ basta farlo per ogni $L$ grande a piacere (per esempio $L > 0$, o $L > 1000$).

Questo permette di semplificare i conti (per esempio di poter supporre $s - \varepsilon > 0$).

Quale teorema usare per la condizione 2

• Se $E$ è fatto di razionali (come $\{x \in \mathbb{Q} : \ldots\}$): il teorema di densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$ (vedi Completezza di R (continuità, separazione, sup)Le tre proprietà equivalenti che R ha e Q no: continuità, separazione ed esistenza del sup; densità di Q in R.Completezza di R (continuità, separazione, sup) →).
• Se $E = \{x_n : n \ge n_0, \ n \in \mathbb{N}\}$ è fatto di termini indicizzati da $n$: l'archimedeità di $\mathbb{N}$ (Archimedeità di NPer ogni numero reale esiste un naturale più grande: serve a trovare n con 1/n più piccolo di qualunque epsilon.Archimedeità di N →), come nell'Esercizio 2 - max min inf sup di (n+2)/n.

Differenza dal massimo

Il massimo deve appartenere all'insieme, il sup no.

Se il max esiste, allora $\sup = \max$.

Esempio dimostrato: $\sup [0, 1) = 1$ e il max non esiste

Sia $A = [0, 1)$.

1. $1$ è un maggiorante. Ogni $x \in A$ soddisfa $x < 1$, quindi $x \le 1$ ✓.
2. Nessun numero minore di $1$ è un maggiorante. Fissiamo $\varepsilon > 0$ qualsiasi e cerchiamo un $x \in A$ con $x > 1 - \varepsilon$. Distinguiamo due casi.
   • Se $0 < \varepsilon \le 1$, prendiamo $x = 1 - \frac{\varepsilon}{2}$. Appartiene ad $A$ perché $0 \le 1 - \frac{\varepsilon}{2} < 1$. Inoltre $x > 1 - \varepsilon$, perché togliere $\frac{\varepsilon}{2}$ toglie meno che togliere $\varepsilon$ ✓.
   • Se $\varepsilon > 1$, allora $1 - \varepsilon < 0$, e basta prendere $x = 0 \in A$, che è maggiore di un numero negativo ✓.

Quindi $\sup A = 1$. Ma $1 \notin A$, perciò il massimo non esiste (il max dovrebbe essere un elemento di $A$ uguale al sup).

Caratterizzazione del massimo

$M = \max A$ se e solo se:

1. $M \in A$;
2. $M$ è un maggiorante di $A$: $x \le M$ per ogni $x \in A$.

Servono entrambe: la 1 da sola dice solo che $M$ è un elemento, la 2 da sola dice che $M$ sta sopra tutto ma potrebbe non appartenere ad $A$ (e allora sarebbe un sup, non un max). Esempio d'uso: Esercizio 2 - max min inf sup di (n+2)/n.

Caratterizzazione del minimo

$m = \min A$ se e solo se $m \in A$ e $m$ è un minorante di $A$ ($m \le x$ per ogni $x \in A$). Se il min esiste, allora $\inf = \min$.

Sup in un insieme di interi

Sia $A \subseteq \mathbb{Z}$ non vuoto.

• Se $A$ è limitato superiormente, il sup coincide con il massimo. Gli interi sono "distanziati" (tra due interi consecutivi non c'è nessun altro intero), quindi non ci si può avvicinare indefinitamente a un valore senza raggiungerlo: l'insieme ha sempre un elemento più grande di tutti gli altri.
• Se $A$ non è limitato superiormente, $\sup A = +\infty$. Esempio: $\sup \mathbb{N} = +\infty$ (vedi Archimedeità di NPer ogni numero reale esiste un naturale più grande: serve a trovare n con 1/n più piccolo di qualunque epsilon.Archimedeità di N →).

Attenzione: questo vale per sottoinsiemi di $\mathbb{Z}$. Un insieme come $\left\{ 1 + \frac{2}{n} \right\}$ è fatto di numeri razionali non interi che si accumulano, e lì il sup/inf può non appartenere all'insieme.

Assioma di completezza di ℝ

Ogni insieme non vuoto e limitato superiormente di $\mathbb{R}$ ha un sup (in $\mathbb{R}$). Analogamente, ogni insieme non vuoto e limitato inferiormente ha un inf.

È una delle idee centrali di Analisi 1: dice che sulla retta reale non ci sono "buchi" e garantisce che sup e inf esistano sempre per gli insiemi limitati. (In $\mathbb{Q}$ non è vero: l'insieme dei razionali con $x^2 < 2$ è limitato ma il suo sup, $\sqrt{2}$, non è razionale.)

La prof la chiama proprietà III di $\mathbb{R}$ e dimostra che è equivalente alla proprietà di separazione: tutto in Completezza di R (continuità, separazione, sup)Le tre proprietà equivalenti che R ha e Q no: continuità, separazione ed esistenza del sup; densità di Q in R.Completezza di R (continuità, separazione, sup) →.

Riassunto