Esercizio 15

Testo (Lezione 6, esercizio 8 del foglio). Risolvere, al variare del parametro $a < 5$,

$$\big|\,|x + 1| - 5\,\big| \le a$$

Passo 0: strategia

Ci sono due moduli uno dentro l'altro e un parametroUna lettera che indica un numero fissato ma generico: si risolve per tutti i suoi valori possibili insieme, distinguendo casi se serve. $a$ (un numero fissato ma non noto: la risposta dipenderà da $a$).

Usare la definizione$\lvert t \rvert = t$ se $t \ge 0$ e $\lvert t \rvert = -t$ se $t < 0$: ogni modulo tolto così raddoppia i casi.Valore assoluto (modulo) → per togliere i moduli porterebbe a quattro sistemi, con dentro il parametro: lungo e facile da sbagliare. La prof suggerisce invece di usare le proprietàSono numerate nella nota sul modulo: la 3 è l'equazione $\lvert t \rvert = r$, la 4 è $\lvert t \rvert \le r$, la 5 è $\lvert t \rvert \ge r$.Valore assoluto (modulo) → del modulo, applicandole "dall'esterno verso l'interno":

• prima si tratta il modulo esterno, $|\text{qualcosa}| \le a$, con la proprietà 4;
• poi si risolvono le disuguaglianze sul modulo interno $|x + 1|$, con le proprietà 4 e 5.

La proprietà 4 ($|t| \le r$) cambia a seconda del segno di $r$: qui $r = a$, quindi bisogna distinguere i casi $a < 0$, $a = 0$, $0 < a < 5$.

Caso $a < 0$

Un modulo è sempre $\ge 0$Proprietà 1: $\lvert t \rvert \ge 0$ per ogni $t$, e vale $0$ solo per $t = 0$.Valore assoluto (modulo) →, quindi non può essere $\le$ di un numero negativo. Nessuna soluzione: $\emptyset$L'insieme vuoto, che non ha elementi: qui significa che nessun $x$ risolve la disequazione.Insiemi e insieme delle parti →.

Caso $a = 0$

$\big||x+1| - 5\big| \le 0$ vale solo se il modulo è esattamente $0$Proprietà 4 con $r = 0$: un modulo non è mai negativo, quindi può essere $\le 0$ solo se vale $0$.Valore assoluto (modulo) →:

$$\big||x+1| - 5\big| = 0 \iff |x + 1| - 5 = 0 \iff |x + 1| = 5$$

Per la proprietà 3L'equazione $\lvert t \rvert = r$ con $r > 0$ ha due soluzioni: $t = r$ oppure $t = -r$.Valore assoluto (modulo) → (con $r = 5 > 0$): $x + 1 = 5$ oppure $x + 1 = -5$, cioè

$$x = 4 \quad \text{oppure} \quad x = -6$$

Caso $0 < a < 5$

Modulo esterno. Per la proprietà 4La disequazione $\lvert t \rvert \le r$ con $r > 0$ equivale a $-r \le t \le r$.Valore assoluto (modulo) → con $r = a > 0$:

$$-a \le |x + 1| - 5 \le a$$

Sommando $5$ a tutti e tre i membriSommare lo stesso numero a tutti i membri di una disuguaglianza non cambia il verso.Campi ordinati (Q e R) →:

$$5 - a \le |x + 1| \le 5 + a$$

Questa doppia disuguaglianza è un sistemaCondizioni che devono valere entrambe: le soluzioni sono l'intersezione delle soluzioni di ciascuna. di due condizioni:

$$\begin{cases} |x + 1| \ge 5 - a & \text{(I)} \\ |x + 1| \le 5 + a & \text{(II)} \end{cases}$$

Segni dei secondi membri. $5 - a > 0$ perché $a < 5$ (è qui che serve l'ipotesi $a < 5$!); $5 + a > 0$ perché $a > 0$. Quindi si possono usare le proprietà 5 e 4 nel caso "$r > 0$".

(I) Per la proprietà 5La disequazione $\lvert t \rvert \ge r$ con $r > 0$ equivale a $t \le -r$ oppure $t \ge r$.Valore assoluto (modulo) →: $x + 1 \le -(5 - a)$ oppure $x + 1 \ge 5 - a$, cioè

$$x \le -6 + a \quad \text{oppure} \quad x \ge 4 - a$$

(II) Per la proprietà 4: $-(5 + a) \le x + 1 \le 5 + a$, cioè

$$-6 - a \le x \le 4 + a$$

IntersezioneSi tengono solo le $x$ che soddisfano sia (I) sia (II).Operazioni tra insiemi → di (I) e (II). Mettiamo in ordine sulla retta i quattro punti. Serve sapere se $-6 + a < 4 - a$: equivale a $2a < 10$, cioè $a < 5$, che è vero. Quindi l'ordine è

$$-6 - a \ < \ -6 + a \ < \ 4 - a \ < \ 4 + a$$

(la prima e l'ultima disuguaglianza valgono perché $a > 0$). (II) è l'intervallo da $-6-a$ a $4+a$; (I) toglie la parte centrale $(-6 + a, 4 - a)$. Resta:

$$x \in [-6 - a, \ -6 + a] \ \cup \ [4 - a, \ 4 + a]$$

Esempio numerico ($a = 1$): $x \in [-7, -5] \cup [3, 5]$. Controllo con $x = 3$: $\big||4| - 5\big| = 1 \le 1$ ✓; con $x = 0$: $\big||1| - 5\big| = 4 > 1$, escluso ✓; con $x = -7$: $\big||-6| - 5\big| = 1 \le 1$ ✓.

Interpretazione grafica. Il grafico di $y = \big||x+1| - 5\big|$ ha la forma di una W: tocca l'asse $x$ in $x = -6$ e $x = 4$, e ha un picco di altezza $5$ in $x = -1$. Le soluzioni sono le $x$ in cui la W sta sotto la retta orizzontale $y = a$Metodo grafico: $h(x) \le a$ vale nelle $x$ in cui il grafico di $h$ è sotto la retta $y = a$ o la tocca.Funzioni - definizione, dominio e grafico →: due intervalli attorno ai punti $-6$ e $4$, di raggio $a$. Se $a$ arrivasse a $5$, la retta toccherebbe il picco e i due intervalli si unirebbero: per questo il testo chiede $a < 5$.

Riassunto

(Il caso $a = 0$ è coerente con la formula del terzo caso: con $a = 0$ gli intervalli si riducono ai punti $-6$ e $4$.)

Errori comuni

• Non distinguere i casi del parametro: la proprietà 4 è diversa per $a < 0$, $a = 0$, $a > 0$.
• Usare la proprietà 5 senza controllare che $5 - a > 0$.
• Unire invece di intersecare (I) e (II): la doppia disuguaglianza è un sistema.
• Ordinare male i quattro estremi senza verificare $-6 + a < 4 - a$.