Esercizio 27

Testo (Lezione 11, esercizio 8 del foglio). Determinare dominio e segno di

$$f(x) = \arccos\left(|x + 1| - 2\right) - \frac{\pi}{4}$$

e stabilire se $f$ è limitata.

Passo 0: cosa serve dell'arcocoseno

L'arcocoseno$\arccos : [-1, 1] \to [0, \pi]$ è l'inversa del coseno ristretto a $[0, \pi]$: strettamente decrescente.Funzioni trigonometriche e loro inverse → è definito su $[-1, 1]$, ha valori in $[0, \pi]$ ed è strettamente decrescente. Chiamiamo $X = |x + 1| - 2$ il suo argomento.

Passo 1: dominio

$$-1 \le |x + 1| - 2 \le 1 \iff 1 \le |x + 1| \le 3$$

(sommando $2$). È un sistema di due condizioni sul modulo:

$$\begin{cases} |x + 1| \ge 1 \\ |x + 1| \le 3 \end{cases} \iff \begin{cases} x + 1 \le -1 \ \text{ oppure } \ x + 1 \ge 1 \\ -3 \le x + 1 \le 3 \end{cases} \iff \begin{cases} x \le -2 \ \text{ oppure } \ x \ge 0 \\ -4 \le x \le 2 \end{cases}$$

(con le proprietà 4 e 5 del modulo$\lvert t \rvert \le r$ equivale a $-r \le t \le r$; $\lvert t \rvert \ge r$ equivale a $t \le -r$ oppure $t \ge r$ (con $r > 0$).Valore assoluto (modulo) →). IntersecandoSi tengono le $x$ che soddisfano entrambe le condizioni del sistema.Operazioni tra insiemi →:

$$\mathrm{Dom}(f) = [-4, -2] \cup [0, 2]$$

Passo 2: segno

$$f(x) \ge 0 \iff \arccos(X) \ge \frac{\pi}{4}$$

Metodo grafico: la retta $y = \frac{\pi}{4}$ taglia il grafico di $\arccos$ nel punto $\bar{X} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}$; poiché $\arccos$ è decrescente, il grafico sta sopra la retta per $-1 \le X \le \frac{\sqrt2}{2}$.

Analiticamente: si applica a entrambi i membri il coseno ristretto a $[0, \pi]$ (dove stanno entrambi i membri), che è strettamente decrescenteApplicando ai due membri una funzione strettamente decrescente il verso si inverte.Disequazioni con potenze e radici →: il verso si inverte.

$$\cos(\arccos X) \le \cos\frac{\pi}{4} \iff X \le \frac{\sqrt2}{2}$$

Tornando a $x$:

$$|x + 1| - 2 \le \frac{\sqrt2}{2} \iff |x + 1| \le 2 + \frac{\sqrt2}{2} \iff -2 - \frac{\sqrt2}{2} \le x + 1 \le 2 + \frac{\sqrt2}{2}$$

$$\iff -3 - \frac{\sqrt2}{2} \le x \le 1 + \frac{\sqrt2}{2}$$

Numericamente: $-3 - 0{,}707 \approx -3{,}71$ e $1 + 0{,}707 \approx 1{,}71$. Intersecando con il dominio $[-4, -2] \cup [0, 2]$ (la prof scrive "$\cap$ dominio" e si ferma):

$$f(x) \ge 0 \iff x \in \left[-3 - \tfrac{\sqrt2}{2}, -2\right] \cup \left[0, 1 + \tfrac{\sqrt2}{2}\right]$$

e $f(x) < 0$ nella parte restante del dominio, $\left[-4, -3 - \frac{\sqrt2}{2}\right) \cup \left(1 + \frac{\sqrt2}{2}, 2\right]$.

Controllo: $x = 0$: $X = 1 - 2 = -1$, $\arccos(-1) - \frac\pi4 = \pi - \frac\pi4 > 0$ ✓. $x = 2$: $X = 3 - 2 = 1$, $\arccos 1 - \frac\pi4 = -\frac\pi4 < 0$ ✓.

Passo 3: $f$ è limitata?

Sì: i valori di $\arccos$ stanno in $[0, \pi]$, quindi

$$0 - \frac{\pi}{4} \le f(x) \le \pi - \frac{\pi}{4}, \qquad \text{cioè} \qquad -\frac{\pi}{4} \le f(x) \le \frac34\pi$$

Una limitazione inferiore e una superiore$f$ è limitata se il suo grafico sta tutto tra due rette orizzontali $y = \ell$ e $y = L$.Funzioni limitate, sup, inf, max e min → sono $\ell = -\frac\pi4$ e $L = \frac34\pi$. In più sono valori assunti: $f = -\frac\pi4$ quando $X = 1$ (cioè $|x + 1| = 3$: $x = 2$ o $x = -4$) e $f = \frac34\pi$ quando $X = -1$ ($|x+1| = 1$: $x = 0$ o $x = -2$). Quindi $\min f = -\frac\pi4$ e $\max f = \frac34\pi$.

Errori comuni

• Dimenticare che $\arccos$ è decrescente: $\arccos X \ge \frac\pi4$ significa $X \le \frac{\sqrt2}{2}$.
• Non intersecare con il dominio alla fine.