Esercizio 4

Testo (Lezione 6, esercizio 4 del foglio). Calcolare

$$S = \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k+1} \; - \; \sum_{k=5}^{101} \frac{1}{k-3}$$

Passo 0: leggere bene il testo

Se non hai mai visto le sommatorieIl simbolo $\sum$ indica una somma di molti termini scritti con la stessa formula, al variare di un indice tra due estremi.Sommatorie →, leggi prima quella nota: spiega da zero il simbolo e cosa vuol dire cambiare indice.

Nel testo i termini sono scritti "1/k+1" e "1/k-3". Li leggiamo come $\frac{1}{k+1}$ e $\frac{1}{k-3}$, cioè con il denominatore completo. Questa lettura è confermata dal fatto che gli estremi combaciano bene (lo vedremo al passo 2).

Prima sommatoria. $\displaystyle\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k+1}$: l'indiceLa variabile $k$ che scorre sugli interi dall'estremo scritto sotto il simbolo a quello scritto sopra; per ogni valore si aggiunge un termine.Sommatorie → $k$ va da $1$ a $100$, quindi ci sono $100 - 1 + 1 = 100$ terminiDa $a$ a $b$, estremi inclusi, ci sono $b - a + 1$ interi: il $+1$ serve perché si contano entrambi gli estremi..

• Primo termine ($k = 1$): $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.
• Secondo ($k = 2$): $\frac{1}{3}$.
• ...
• Ultimo ($k = 100$): $\frac{1}{101}$.

Scritta per esteso: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{101}$.

Seconda sommatoria. $\displaystyle\sum_{k=5}^{101} \frac{1}{k-3}$: l'indice $k$ va da $5$ a $101$, quindi ci sono $101 - 5 + 1 = 97$ termini.

• Primo termine ($k = 5$): $\frac{1}{5-3} = \frac{1}{2}$.
• Secondo ($k = 6$): $\frac{1}{3}$.
• ...
• Ultimo ($k = 101$): $\frac{1}{101-3} = \frac{1}{98}$.

Scritta per esteso: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{98}$.

Già si intuisce che i due elenchi partono dallo stesso numero ($\frac12$) e che il primo arriva più lontano, fino a $\frac{1}{101}$. Quindi quasi tutto si cancellerà.

Passo 1: cambio di indice per scriverle con lo stesso termine

Per confrontarle in modo rigoroso (e non solo "a occhio") le scriviamo entrambe con lo stesso termine generico $\frac{1}{j}$.

Prima sommatoria

Poniamo $j = k + 1$Traslazione dell'indice: si cambia variabile e vanno aggiornati insieme il termine generico ed entrambi gli estremi.Sommatorie → (così $k + 1$ diventa $j$).

• Quando $k = 1$: $j = 1 + 1 = 2$.
• Quando $k = 100$: $j = 100 + 1 = 101$.
• Il termine $\frac{1}{k+1}$ diventa $\frac{1}{j}$.

$$\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k+1} = \sum_{j=2}^{101} \frac{1}{j}$$

Verifica del numero di termini: $101 - 2 + 1 = 100$, come prima ✓.

Seconda sommatoria

Poniamo $j = k - 3$ (così $k - 3$ diventa $j$).

• Quando $k = 5$: $j = 5 - 3 = 2$.
• Quando $k = 101$: $j = 101 - 3 = 98$.
• Il termine $\frac{1}{k-3}$ diventa $\frac{1}{j}$.

$$\sum_{k=5}^{101} \frac{1}{k-3} = \sum_{j=2}^{98} \frac{1}{j}$$

Verifica del numero di termini: $98 - 2 + 1 = 97$, come prima ✓.

Nota: abbiamo usato la stessa lettera $j$ per le due sommatorie. Si può fare perché l'indice è mutoIl nome dell'indice non conta: $\sum_{j=2}^{98} \frac1j$ e $\sum_{k=2}^{98} \frac1k$ sono lo stesso numero.Sommatorie →: ciascuna sommatoria ha il suo $j$ che "vive" solo al suo interno.

Passo 2: la differenza

Ora

$$S = \sum_{j=2}^{101} \frac{1}{j} - \sum_{j=2}^{98} \frac{1}{j}$$

Entrambe partono da $j = 2$. La prima arriva a $101$, la seconda a $98$. Spezziamo la prima in due pezzi consecutiviAdditività: la somma da $a$ a $b$ è uguale alla somma da $a$ a $c$ più quella da $c+1$ a $b$, se $a \le c < b$.Sommatorie →, tagliando in $98$ (possibile perché $2 \le 98 < 101$):

$$\sum_{j=2}^{101} \frac{1}{j} = \sum_{j=2}^{98} \frac{1}{j} + \sum_{j=99}^{101} \frac{1}{j}$$

(il secondo pezzo riparte da $98 + 1 = 99$, per non contare due volte il termine $98$).

Sostituendo:

$$S = \left( \sum_{j=2}^{98} \frac{1}{j} + \sum_{j=99}^{101} \frac{1}{j} \right) - \sum_{j=2}^{98} \frac{1}{j} = \sum_{j=99}^{101} \frac{1}{j}$$

Il blocco $\sum_{j=2}^{98} \frac{1}{j}$ compare una volta con il segno $+$ e una volta con il segno $-$, quindi si cancellaUn numero sommato e poi sottratto non lascia traccia: $X + Y - X = Y$. (è un numero finito ben definito, quindi $X - X = 0$).

Restano solo i termini con $j = 99, 100, 101$:

$$S = \frac{1}{99} + \frac{1}{100} + \frac{1}{101}$$

Passo 3: calcolare la somma di frazioni

Per sommare frazioni con denominatori diversi serve un denominatore comuneSi riscrivono le frazioni con lo stesso denominatore; a quel punto si sommano solo i numeratori..

Scomposizione dei denominatori:

• $99 = 3^2 \cdot 11$
• $100 = 2^2 \cdot 5^2$
• $101$ è un numero primoUn naturale maggiore di $1$ divisibile solo per $1$ e per se stesso.

Non hanno fattori primi in comune, quindi il minimo comune multiploIl più piccolo numero divisibile per tutti i denominatori; se non hanno fattori primi in comune coincide con il loro prodotto. è il loro prodotto:

$$99 \cdot 100 \cdot 101 = 9900 \cdot 101 = 999900$$

Ogni frazione va riscritta con denominatore $999900$. Si moltiplica numeratore e denominatore per il prodotto degli altri due denominatori:

• $\dfrac{1}{99} = \dfrac{100 \cdot 101}{99 \cdot 100 \cdot 101} = \dfrac{10100}{999900}$
• $\dfrac{1}{100} = \dfrac{99 \cdot 101}{999900} = \dfrac{9999}{999900}$
• $\dfrac{1}{101} = \dfrac{99 \cdot 100}{999900} = \dfrac{9900}{999900}$

Da dove vengono i numeratori:

• $100 \cdot 101 = 10100$;
• $99 \cdot 101 = 9999$ (si può calcolare come $(100 - 1)(100 + 1) = 100^2 - 1 = 10000 - 1$Prodotto notevole "somma per differenza": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.);
• $99 \cdot 100 = 9900$.

Somma dei numeratori:

$$10100 + 9999 + 9900 = 29999$$

Quindi

$$S = \frac{29999}{999900}$$

La frazione è già ridotta ai minimi terminiFrazione ridotta: numeratore e denominatore non hanno fattori primi in comune, quindi non si può semplificare oltre.Insiemi numerici (N, Z, Q, R) →? Una frazione si può semplificare solo se numeratore e denominatore hanno un fattore primo in comune. I fattori primi del denominatore sono $2, 3, 5, 11, 101$. Controlliamo se dividono $29999$:

• per $2$: no, $29999$ è dispari;
• per $3$: la somma delle cifreCriterio di divisibilità per $3$: un numero è multiplo di $3$ se e solo se lo è la somma delle sue cifre. è $2+9+9+9+9 = 38$, non multiplo di $3$;
• per $5$: finisce per $9$, no;
• per $11$: somma alternata delle cifreCriterio per $11$: si sommano le cifre con segni alterni partendo dalle unità; il numero è multiplo di $11$ se lo è il risultato. $9 - 9 + 9 - 9 + 2 = 2$, non multiplo di $11$;
• per $101$: $101 \cdot 297 = 29997$, il resto è $2$, no.

Quindi la frazione è irriducibile.

$$\boxed{S = \frac{1}{99} + \frac{1}{100} + \frac{1}{101} = \frac{29999}{999900} \approx 0{,}030002}$$

Passo 4: verifiche

Verifica numerica approssimata.

• $\frac{1}{99} \approx 0{,}010101$
• $\frac{1}{100} = 0{,}01$
• $\frac{1}{101} \approx 0{,}009901$

Somma: $0{,}010101 + 0{,}01 + 0{,}009901 = 0{,}030002$, coerente con $\frac{29999}{999900}$ ✓.

Verifica con una versione più piccola (stessa struttura, pochi termini):

$$\sum_{k=1}^{3} \frac{1}{k+1} - \sum_{k=5}^{6} \frac{1}{k-3}$$

• Prima: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$.
• Seconda: $\frac{1}{5-3} + \frac{1}{6-3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$.
• Differenza: $\frac{1}{4}$, cioè solo il termine "extra" in fondo.

Il metodo (cambio di indice, cancellazione, restano gli ultimi termini della sommatoria più lunga) dà proprio il risultato giusto.

Perché restano proprio $\frac{1}{99}, \frac{1}{100}, \frac{1}{101}$

La prima somma ha $100$ termini, la seconda $97$. La differenza nel numero di termini è $100 - 97 = 3$, ed è proprio il numero di termini rimasti. Essendo partiti dallo stesso primo termine ($\frac12$), i termini extra sono gli ultimi della sommatoria più lunga.

Errori comuni

• Cambiare il termine ma non gli estremi (o viceversa) quando si fa il cambio di indiceSe si pone $j = k + c$, il termine va riscritto in funzione di $j$ e anche entrambi gli estremi vanno spostati di $c$.Sommatorie →.
• Contare male i termini: da $a$ a $b$ sono $b - a + 1$, non $b - a$.
• Spezzare male: il secondo pezzo deve ripartire da $98 + 1 = 99$, non da $98$.
• Leggere $\frac{1}{k}+1$ invece di $\frac{1}{k+1}$: sono espressioni diverse. Se il testo del tuo professore intende un'altra cosa, il risultato cambia.

Risultato finale