Operazioni tra insiemi

Prerequisiti: Insiemi e insieme delle partiCome si descrive un insieme, sottoinsiemi, uguaglianza, insieme delle parti e insiemi finiti e infiniti.Insiemi e insieme delle parti → (cos'è un insieme, $\in$, $\subseteq$) e Logica e quantificatoriProposizioni, connettivi, predicati e quantificatori (per ogni, esiste), con le regole per negarli.Logica e quantificatori → (i connettivi "e", "o", "non"). Esercizio svolto: Esercizio 7 - unione, intersezione e complementari con disequazioni.

L'insieme universo

Quando si fanno operazioni tra insiemi si fissa prima un insieme "contenitore" $X \ne \emptyset$, detto insieme universo, che contiene tutti gli insiemi di cui si parla: $A, B, C \subseteq X$. Negli esercizi di Analisi quasi sempre $X = \mathbb{R}$.

Perché serve: per parlare di "tutto ciò che non sta in $A$" bisogna sapere dentro cosa stiamo guardando. "I numeri che non sono in $[0, 1]$" ha senso solo se si sa che si parla di numeri reali (e non, per esempio, di naturali).

Le quattro operazioni

Unione

$$A \cup B = \{x \in X : x \in A \ \text{ oppure } \ x \in B\}$$

Gli elementi che stanno in almeno uno dei due insiemi (anche in entrambi). È l'"o" della logica: $\vee$.

Esempio: $\{1, 2, 3\} \cup \{3, 4\} = \{1, 2, 3, 4\}$ (il $3$ si scrive una volta sola).

Intersezione

$$A \cap B = \{x \in X : x \in A \ \text{ e } \ x \in B\}$$

Gli elementi che stanno in entrambi gli insiemi. È la "e" della logica: $\wedge$.

Esempio: $\{1, 2, 3\} \cap \{3, 4\} = \{3\}$. Se $A \cap B = \emptyset$ i due insiemi si dicono disgiunti.

Differenza

$$A \setminus B = \{x \in X : x \in A, \ x \notin B\}$$

Gli elementi di $A$ che non stanno in $B$ ("$A$ meno $B$"). Esempio: $\{1, 2, 3\} \setminus \{3, 4\} = \{1, 2\}$. Attenzione: non è simmetrica, $\{3, 4\} \setminus \{1, 2, 3\} = \{4\}$.

Complementare

Il complementare di $B$ (rispetto all'universo $X$) è tutto ciò che sta in $X$ ma non in $B$:

$$B^c = X \setminus B = \{x \in X : x \notin B\}$$

È il "non" della logica. Esempio: con $X = \mathbb{R}$ e $B = [0, 1]$, si ha $B^c = (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

Nei diagrammi di Venn: $A \cup B$ è tutta la zona coperta da almeno uno dei due cerchi; $A \cap B$ è la zona a forma di "lente" dove si sovrappongono; $A \setminus B$ è il cerchio $A$ con la lente tolta; $B^c$ è tutto il rettangolo $X$ tranne il cerchio $B$.

Proprietà

Per l'unione (e allo stesso modo per l'intersezione, basta scambiare $\cup$ con $\cap$):

Distributive (una operazione "si distribuisce" sull'altra, come la moltiplicazione sulla somma):

$$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \qquad A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$$

La seconda assomiglia a $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$; la prima non ha un analogo con i numeri ($a + b \cdot c \ne (a+b)(a+c)$ in generale), ma per gli insiemi vale.

Verifica con un esempio della prima. $A = \{1\}$, $B = \{1, 2\}$, $C = \{2, 3\}$:

• $B \cap C = \{2\}$, quindi $A \cup (B \cap C) = \{1, 2\}$;
• $A \cup B = \{1, 2\}$, $A \cup C = \{1, 2, 3\}$, quindi $(A \cup B) \cap (A \cup C) = \{1, 2\}$ ✓.

Complementare:

$$A \cup A^c = X \qquad A \cap A^c = \emptyset \qquad \emptyset^c = X \qquad X^c = \emptyset$$

(Ogni elemento di $X$ o sta in $A$ o non ci sta, mai entrambe le cose.)

Leggi di De Morgan

$$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c \qquad\qquad (A \cap B)^c = A^c \cup B^c$$

In parole. "Non stare nell'unione" significa non stare in $A$ e non stare in $B$. "Non stare nell'intersezione" significa non stare in almeno uno dei due: non stare in $A$ oppure non stare in $B$. Facendo il complementare, l'unione diventa intersezione e viceversa.

Si estendono a $N$ insiemi $A_1, \dots, A_N$ (con la notazione $\bigcup_{i=1}^N A_i = A_1 \cup \dots \cup A_N$, simile a quella delle SommatorieIl simbolo di sommatoria, le sue proprietà (linearità, additività, cambio di indice) e le somme notevoli di Gauss e geometrica.Sommatorie →):

$$\Big(\bigcup_{i=1}^{N} A_i\Big)^c = \bigcap_{i=1}^{N} A_i^c = A_1^c \cap \dots \cap A_N^c \qquad \Big(\bigcap_{i=1}^{N} A_i\Big)^c = \bigcup_{i=1}^{N} A_i^c$$

A cosa servono. A volte calcolare direttamente un insieme è scomodo, mentre calcolare il suo complementare è facile. Nell'Esercizio 7 - unione, intersezione e complementari con disequazioni si deve trovare $A^c \cup B^c$: invece di calcolare due complementari e poi unirli, si osserva che è $(A \cap B)^c$ e si prende il complementare di un insieme già noto.

Insiemi e logica: lo stesso discorso in due lingue

Se gli insiemi sono descritti da predicati, $A = \{x \in X : p(x)\}$ e $B = \{x \in X : q(x)\}$, le operazioni corrispondono ai connettivi logici:

Scrivendo le leggi di De Morgan con i predicati:

• $(A \cup B)^c = \{x : \text{non}(p(x) \vee q(x))\}$ e $A^c \cap B^c = \{x : \text{non}\,p(x) \wedge \text{non}\,q(x)\}$;
• $(A \cap B)^c = \{x : \text{non}(p(x) \wedge q(x))\}$ e $A^c \cup B^c = \{x : \text{non}\,p(x) \vee \text{non}\,q(x)\}$.

Poiché gli insiemi sono uguali, i predicati sono equivalenti, e si ottengono le leggi di De Morgan logiche:

$$\text{non}\,(p \vee q) = \text{non}\,p \wedge \text{non}\,q \qquad \text{non}\,(p \wedge q) = \text{non}\,p \vee \text{non}\,q$$

Conseguenza pratica negli esercizi: unione = "oppure" = si uniscono le soluzioni; intersezione = "e" = sistema di disequazioni (si prendono le soluzioni comuni).

Prodotto cartesiano

Dati $A, B \ne \emptyset$:

$$A \times B = \{(a, b) : a \in A, \ b \in B\}$$

È l'insieme di tutte le coppie ordinate con il primo elemento preso da $A$ e il secondo da $B$.

Esempio. $A = \{1, 2\}$, $B = \{1, 2, 3\}$:

$$A \times B = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)\}$$

Sono $2 \cdot 3 = 6$ coppie: in generale, se $A$ ha $m$ elementi e $B$ ne ha $n$, $A \times B$ ne ha $m \cdot n$ (per ciascuna delle $m$ scelte del primo elemento ci sono $n$ scelte del secondo).

Coppie ordinate contro insiemi. Nella coppia l'ordine conta: $(1, 2) \ne (2, 1)$ (nell'esempio sono due elementi diversi di $A \times B$). Negli insiemi invece no: $\{1, 2\} = \{2, 1\}$. Per questo le coppie si scrivono con le tonde e gli insiemi con le graffe. Di conseguenza in generale $A \times B \ne B \times A$.

Più insiemi. $A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) : a_1 \in A_1, \dots, a_n \in A_n\}$ (le "$n$-uple" ordinate). Se tutti gli insiemi sono uguali ad $A$ si scrive $A^n = A \times \dots \times A$ ($n$ volte).

$\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$: il piano e lo spazio

• $\mathbb{R}$ è in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta: fissati un punto $O$ (lo zero) e un'unità di misura, a ogni numero reale corrisponde uno e un solo punto della retta, e viceversa.
• $\mathbb{R}^2 = \{(x, y) : x, y \in \mathbb{R}\}$ è in corrispondenza biunivoca con i punti del piano cartesiano: la coppia $(x, y)$ è il punto di ascissa $x$ e ordinata $y$.
• $\mathbb{R}^3 = \{(x, y, z) : x, y, z \in \mathbb{R}\}$ corrisponde ai punti dello spazio con un riferimento cartesiano ortogonale (tre assi perpendicolari).

È per questo che si "disegnano" le funzioni: il grafico di una funzione è un sottoinsieme di $\mathbb{R}^2$.

Errori comuni

• Confondere $\cup$ e $\cap$ negli esercizi: "oppure" → unione (si allarga), "e" → intersezione (si restringe). Controllo: $A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B$ sempre.
• Sbagliare De Morgan scrivendo $(A \cup B)^c = A^c \cup B^c$. Il complementare scambia $\cup$ e $\cap$.
• Dimenticare l'universo nel complementare: $[0,1]^c$ in $\mathbb{R}$ e in $\mathbb{N}$ sono insiemi diversi.
• Scrivere $\{1, 2\}$ per una coppia ordinata o pensare che $(1,2) = (2,1)$.