Esercizio 108per quali x converge una serie geometrica

Testo (Lezione 33, esercizio 1). Determinare $x \in \mathbb{R}$, $x \neq -4$, per cui converge

$$\sum_{k=0}^{+\infty} 3^k \cdot \left(\frac{|x+3|}{x+4}\right)^k$$

(La prof indica come risultato $-\frac74 < x < \frac12$, ma non è quello della serie scritta: per esempio con $x = 0$ la ragione vale $\frac94 > 1$ e la serie diverge. Il risultato corretto, ricavato sotto e controllato con Python, è $-\frac{13}{4} < x < -\frac52$.)

Passo 1: riconoscere una serie geometrica

Le due potenze hanno lo stesso esponente $k$, quindi si possono unire ($a^k b^k = (ab)^k$):

$$\sum_{k=0}^{+\infty} 3^k \left(\frac{|x+3|}{x+4}\right)^k = \sum_{k=0}^{+\infty} \left(3 \cdot \frac{|x+3|}{x+4}\right)^k = \sum_{k=0}^{+\infty} q^k, \qquad q = 3 \cdot \frac{|x+3|}{x+4}$$

Per ogni $x$ fissato è una serie geometrica$\sum q^k$ converge (a $\frac{1}{1-q}$) se e solo se $\lvert q \rvert < 1$; diverge se $q \ge 1$; è irregolare se $q \le -1$.Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → di ragione $q$ (che dipende da $x$). Quindi:

$$\text{la serie converge} \iff |q| < 1$$

Passo 2: impostare la disequazione

$$|q| < 1 \iff \left|3 \cdot \frac{|x+3|}{x+4}\right| < 1 \iff 3 \cdot \frac{|x+3|}{|x+4|} < 1 \iff \left|\frac{x+3}{x+4}\right| < \frac13$$

Passaggi: il modulo di un prodotto è il prodotto dei moduli; $|3| = 3$; $\big||x+3|\big| = |x+3|$; e $\frac{|x+3|}{|x+4|} = \left|\frac{x+3}{x+4}\right|$. Infine si divide per $3 > 0$.

Per la proprietà del valore assoluto$\lvert A \rvert < c$ con $c > 0$ equivale a $-c < A < c$.Valore assoluto (modulo) → ($|A| < c \iff -c < A < c$):

$$-\frac13 < \frac{x+3}{x+4} < \frac13 \iff \begin{cases} \dfrac{x+3}{x+4} + \dfrac13 > 0 \\[2mm] \dfrac{x+3}{x+4} - \dfrac13 < 0 \end{cases}$$

Passo 3: le due disequazioni fratte

Prima. Denominatore comune $3(x+4)$:

$$\frac{3(x+3) + (x+4)}{3(x+4)} > 0 \iff \frac{4x + 13}{x + 4} > 0$$

(il $3$ al denominatore è positivo e non cambia il segno). Numeratore $> 0$ per $x > -\frac{13}{4}$; denominatore $> 0$ per $x > -4$. La frazione è positiva quando hanno lo stesso segno:

Soluzioni: $x < -4$ oppure $x > -\frac{13}{4}$. (Attenzione all'ordine: $-4 < -\frac{13}{4} = -3{,}25$.)

Seconda. Denominatore comune $3(x+4)$:

$$\frac{3(x+3) - (x+4)}{3(x+4)} < 0 \iff \frac{2x + 5}{x + 4} < 0$$

Numeratore $> 0$ per $x > -\frac52$, denominatore $> 0$ per $x > -4$. La frazione è negativa quando hanno segno opposto, cioè tra le due radici: $-4 < x < -\frac52$.

Passo 4: intersezione

Bisogna che valgano entrambe (è un sistema):

$$\left(x < -4 \ \text{ oppure } \ x > -\tfrac{13}{4}\right) \ \text{ e } \ \left(-4 < x < -\tfrac52\right) \iff -\frac{13}{4} < x < -\frac52$$

(la parte $x < -4$ non interseca $(-4, -\frac52)$.)

$$\boxed{\text{la serie converge} \iff -\frac{13}{4} < x < -\frac52}$$

Controllo e carattere negli altri casi

Qualche valore di $q(x) = \frac{3|x+3|}{x+4}$ (calcolato con Python):

Si vede che $|q| < 1$ esattamente tra $-3{,}25$ e $-2{,}5$ ✓. Negli altri casi, sempre per il teorema della serie geometrica:

• per $-4 < x \le -\frac{13}{4}$ oppure $x \ge -\frac52$: $x + 4 > 0$, quindi $q \ge 0$, e $q \ge 1$: la serie diverge a $+\infty$;
• per $x < -4$: $x + 4 < 0$ e $q < 0$; inoltre $|x+3| > |x+4|$ (per $x < -4$, $x + 3$ è più lontano da $0$ di $x + 4$), quindi $|q| > 3$: $q < -1$ e la serie è irregolare.

Somma (dove converge): $\frac{1}{1-q} = \frac{x+4}{x + 4 - 3|x+3|}$. Per esempio con $x = -3$: $q = 0$ e la somma è $1$ (solo il primo termine $q^0 = 1$).

Errori comuni

• Dimenticare il modulo intorno a $q$: la condizione è $|q| < 1$, non $q < 1$ (con $q < 1$ si includerebbero gli $x < -4$, dove la serie è irregolare).
• Moltiplicare la disequazione fratta per $x + 4$ senza conoscerne il segno: si porta tutto a sinistra e si studia il segno della frazione.