Esercizio 104derivate quinta e sesta in 0 senza derivare

Testo (Lezione 32, esercizio 4 del foglio). Calcolare le derivate quinta e sesta di

$$f(x) = \left[\cos(3x^2)\right]^{\log(1+x)}$$

in $x = 0$.

L'idea: non derivare sei volte

Derivare sei volte questa funzione sarebbe un incubo. Ma la formula di TaylorIl polinomio di Taylor di ordine $n$ è l'unico polinomio di grado al più $n$ con $f(x) = T_n(x) + o(x^n)$, e il suo coefficiente di $x^k$ è $f^{(k)}(0)/k!$.Formula di Taylor con resto di Peano → dice che, se in qualunque modo scriviamo

$$f(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_5 x^5 + a_6 x^6 + o(x^6) \qquad (x \to 0),$$

allora per l'unicità del polinomio di Taylor deve essere

$$a_5 = \frac{1}{5!}f^{(5)}(0), \qquad a_6 = \frac{1}{6!}f^{(6)}(0) \qquad \Longrightarrow \qquad f^{(5)}(0) = 5!\,a_5, \quad f^{(6)}(0) = 6!\,a_6$$

Basta quindi scrivere lo sviluppo di Mac-Laurin di $f$ fino al sesto ordine, componendo sviluppi noti (Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli →).

Passo 1: passare all'esponenziale

Come sempre con una funzione elevata a una funzione, $a^b = e^{b \log a}$ (qui $\cos(3x^2) > 0$ vicino a $0$, e $1 + x > 0$):

$$f(x) = e^{\log(1+x) \cdot \log(\cos(3x^2))} = e^y, \qquad y = \log(1+x) \cdot \log\big(\cos(3x^2)\big)$$

Per $x \to 0$ entrambi i logaritmi tendono a $\log 1 = 0$, quindi $y \to 0$.

Passo 2: sviluppare i due fattori

$\log(\cos(3x^2))$

Come in Esercizio 102 · sviluppo di Mac-Laurin di log(cos x), si scrive $\log(\cos(3x^2)) = \log(1 + y_1)$ con $y_1 = \cos(3x^2) - 1 \to 0$.

Sviluppo di $y_1$. Nello sviluppo del coseno si mette $3x^2$ al posto di $x$ (è lecito: $3x^2 \to 0$):

$$y_1 = \cos(3x^2) - 1 = -\frac12(3x^2)^2 + \frac{1}{24}(3x^2)^4 + \dots = -\frac92 x^4 + \frac{81}{24}x^8 + \dots$$

Il secondo termine ha grado 8, più di 6: è $o(x^6)$. Quindi $y_1 = -\frac92 x^4 + o(x^6)$.

Sviluppo del logaritmo. $\log(1 + y_1) = y_1 - \frac{y_1^2}{2} + o(y_1^2)$; ma $y_1 \sim -\frac92 x^4$, quindi $y_1^2 \sim \frac{81}{4}x^8$: anche questo è $o(x^6)$ e si butta. Resta

$$\log(\cos(3x^2)) = -\frac92 x^4 + o(x^6)$$

$\log(1 + x)$

Il secondo fattore comincia con $x^4$. Il prodotto deve arrivare a $x^6$, quindi da $\log(1+x)$ servono le potenze fino a $x^2$ (perché $x^2 \cdot x^4 = x^6$), con errore $o(x^2)$ (che moltiplicato per $x^4$ dà $o(x^6)$):

$$\log(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$$

(il termine $\frac{x^3}{3}$ darebbe $x^3 \cdot x^4 = x^7$: inutile; la prof lo cancella).

Passo 3: il prodotto $y$

$$y = \left(x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right)\left(-\frac92 x^4 + o(x^6)\right) = -\frac92 x^5 + \frac94 x^6 + o(x^6)$$

I prodotti scartati: $o(x^2) \cdot x^4 = o(x^6)$, $x \cdot o(x^6) = o(x^7)$, ecc. Il segno di $\frac94$: $\left(-\frac{x^2}{2}\right) \cdot \left(-\frac92 x^4\right) = +\frac94 x^6$.

Passo 4: l'esponenziale

Si scrive $e^y = 1 + y + \frac{y^2}{2} + o(y^2)$. Poiché $y \sim -\frac92 x^5$, si ha $y^2 \sim \frac{81}{4}x^{10}$: sia $\frac{y^2}{2}$ sia $o(y^2)$ sono $o(x^6)$ e si buttano. (Non si poteva scrivere solo $e^y = 1 + y + o(y)$: l'errore $o(y) = o(x^5)$ non basterebbe per leggere il coefficiente di $x^6$.)

$$f(x) = 1 - \frac92 x^5 + \frac94 x^6 + o(x^6)$$

Passo 5: leggere le derivate

$a_5 = -\frac92$ e $a_6 = \frac94$, quindi

$$f^{(5)}(0) = 5! \cdot \left(-\frac92\right) = 120 \cdot \left(-\frac92\right) = -540, \qquad f^{(6)}(0) = 6! \cdot \frac94 = 720 \cdot \frac94 = 1620$$

Verifica con Python (sympy): lo sviluppo di $f$ in $0$ è $1 - \frac92 x^5 + \frac94 x^6 + \dots$ e le derivate valgono $-540$ e $1620$ ✓.

Osservazione. Lo sviluppo dice anche che $f'(0) = f''(0) = f'''(0) = f^{(4)}(0) = 0$ (i coefficienti di $x, \dots, x^4$ sono nulli).

Errori comuni

• Dimenticare di moltiplicare per $k!$: il coefficiente $a_k$ è $\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$, non $f^{(k)}(0)$.
• Sviluppare troppo poco $\log(1+x)$: con $\log(1+x) = x + o(x)$ il prodotto sarebbe $-\frac92 x^5 + o(x^5)$ e il coefficiente di $x^6$ andrebbe perso.
• Sviluppare troppo: i termini di grado $> 6$ vanno buttati subito, altrimenti i conti esplodono senza motivo.