Esercizio 107studio di 3^-1/ modulo di sin x)

Testo (Lezione 32, esercizio 11 del foglio). Studiare (no $f''$) la funzione

$$f(x) = 3^{-\frac{1}{|\sin x|}}$$

Lo studio segue lo schema solito dello studio di funzione: (a) dominio, periodicità, simmetrie, segno; (b) limiti agli estremi del dominio; (c) derivata prima, monotonia, massimi e minimi, derivabilità. Senza derivata seconda, cioè senza convessità.

(a) Dominio, periodicità, simmetrie, segno

Dominio

L'esponente contiene $\frac{1}{|\sin x|}$: serve $|\sin x| \neq 0$, cioè $\sin x \neq 0$. Il seno si annulla nei multipli interi di $\pi$, quindi

$$\mathrm{Dom}(f) = \{x \in \mathbb{R} : x \neq k\pi, \ k \in \mathbb{Z}\}$$

(l'esponenziale $3^t$ invece è definito per ogni $t$, non pone condizioni).

Periodicità

Il seno ha periodo $2\pi$, ma con il modulo il periodo si dimezza: $|\sin x|$, $|\cos x|$, $\sin^2 x$, $\cos^2 x$ sono $\pi$-periodiche$g(x + \pi) = g(x)$ per ogni $x$: il grafico si ripete uguale ogni $\pi$.Funzioni periodiche →. Infatti $\sin(x + \pi) = -\sin x$, e il modulo toglie il segno:

$$f(x + \pi) = 3^{-\frac{1}{|\sin(x + \pi)|}} = 3^{-\frac{1}{|-\sin x|}} = 3^{-\frac{1}{|\sin x|}} = f(x)$$

$f$ è $\pi$-periodica: basta studiarla su un intervallo lungo $\pi$, per esempio $\left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right] \cap \mathrm{Dom}(f)$, e poi ripetere il grafico.

Simmetrie

$\sin$ è dispari, quindi $|\sin(-x)| = |-\sin x| = |\sin x|$ e

$$f(-x) = 3^{-\frac{1}{|\sin(-x)|}} = 3^{-\frac{1}{|\sin x|}} = f(x)$$

$f$ è pari$f(-x) = f(x)$: il grafico è simmetrico rispetto all'asse $y$.Funzioni monotone, pari e dispari →. Quindi basta studiarla per $x \ge 0$:

$$\left[-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\right] \cap [0, +\infty) \cap \mathrm{Dom}(f) = \left(0, \tfrac\pi2\right]$$

Su $\left(0, \frac\pi2\right]$ il seno è positivo, quindi $|\sin x| = \sin x$ e si studia la funzione più semplice

$$f(x) = 3^{-\frac{1}{\sin x}} \qquad x \in \left(0, \tfrac\pi2\right]$$

Segno

Un'esponenziale è sempre positiva: $f(x) > 0$ per ogni $x$ del dominio.

(b) Limiti agli estremi (in $\left(0, \frac\pi2\right]$)

• In $\frac\pi2$ la funzione è definita: $f\left(\frac\pi2\right) = 3^{-\frac{1}{1}} = \frac13$.
• Per $x \to 0^+$: $\sin x \to 0^+$ (positivo), quindi $\frac{1}{\sin x} \to +\infty$ e l'esponente $-\frac{1}{\sin x} \to -\infty$. Poiché la base $3$ è maggiore di $1$, $3^t \to 0$ per $t \to -\infty$: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 3^{-\infty} = 0$$

Per la parità anche $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$. Esiste quindi il limite (finito) in $0$, ma $0 \notin \mathrm{Dom}(f)$: $f$ si prolunga per continuità in $0$ ponendo $f(0) = 0$, e per la periodicità in tutti i punti $x_k = k\pi$, con $f(k\pi) = 0$.

(c) Derivata prima

Calcolo

Si scrive l'esponenziale in base $e$ ($3^t = e^{t\log 3}$):

$$f(x) = e^{-\frac{\log 3}{\sin x}}$$

Derivata della funzione composta: $\left(e^{g(x)}\right)' = e^{g(x)}\,g'(x)$ con $g(x) = -\frac{\log 3}{\sin x} = -\log 3 \cdot (\sin x)^{-1}$, e $g'(x) = -\log 3 \cdot (-1)(\sin x)^{-2}\cos x = \log 3 \cdot \frac{\cos x}{\sin^2 x}$. Quindi

$$f'(x) = 3^{-\frac{1}{\sin x}} \cdot \log 3 \cdot \frac{\cos x}{\sin^2 x} \qquad x \in \left(0, \tfrac\pi2\right]$$

E in $\frac\pi2$? Lì $\sin x = 1 > 0$, quindi $|\sin x| = \sin x$ in tutto un intorno di $\frac\pi2$ (anche a destra), e la formula vale anche in $\frac\pi2$: $f'\left(\frac\pi2\right) = 0$ perché $\cos\frac\pi2 = 0$.

Monotonia

Nel prodotto $3^{-1/\sin x} > 0$, $\log 3 > 0$ (perché $3 > 1$) e $\sin^2 x > 0$: il segno di $f'$ è quello di $\cos x$. Su $\left(0, \frac\pi2\right)$ si ha $\cos x > 0$, quindi

$$f'(x) > 0 \ \text{ su } \left(0, \tfrac\pi2\right) \quad \Longrightarrow \quad f \text{ strettamente crescente su } \left(0, \tfrac\pi2\right]$$

Derivabilità del prolungamento in $0$

Il prolungamento è continuo in $0$; è anche derivabile? Calcoliamo il limite della derivata per $x \to 0^+$:

$$\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} \log 3 \cdot \underbrace{3^{-\frac{1}{\sin x}}}_{\to 0} \cdot \underbrace{\frac{\cos x}{\sin^2 x}}_{\to +\infty}$$

È una forma indeterminata $0 \cdot \infty$. Il coseno tende a $1$ e non dà problemi. Con la sostituzione $y = \frac{1}{\sin x}$, che tende a $+\infty$ per $x \to 0^+$, si ha $\frac{1}{\sin^2 x} = y^2$ e $3^{-1/\sin x} = 3^{-y} = \frac{1}{3^y}$:

$$\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{y \to +\infty} \log 3 \cdot \frac{y^2}{3^y} = 0$$

per la gerarchia degli infinitiPer $y \to +\infty$ un'esponenziale con base maggiore di 1 va all'infinito più in fretta di qualunque potenza: $y^2/3^y \to 0$.. Quindi $f'(0^+) = 0$. Inoltre $f$ è pari, quindi $f'$ è dispari (derivando $f(-x) = f(x)$ si ottiene $-f'(-x) = f'(x)$), e $f'(0^-) = -f'(0^+) = 0$.

Siccome il prolungamento è continuo in $0$ e il limite di $f'$ da destra e da sinistra vale $0$, per il teorema del limite della derivataSe $f$ è continua in $x_0$, derivabile vicino a $x_0$, e $f'(x)$ ha limite finito $\ell$ per $x \to x_0$, allora $f$ è derivabile in $x_0$ e $f'(x_0) = \ell$. Segue dal teorema di Lagrange. il prolungamento è derivabile in $0$ con derivata $0$. Per periodicità lo stesso vale in ogni $x_k = k\pi$: $f'(k\pi) = 0$, tangente orizzontale.

Conclusioni e grafico

• $f$ (prolungata) ha massimo assoluto $\frac13$, assunto nei punti $\frac\pi2 + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$;
• ha minimo assoluto $0$, assunto nei punti $x_k = k\pi$ (per la $f$ non prolungata: $\inf f = 0$, non assunto, perché quei punti non sono nel dominio);
• su ogni intervallo $\left(k\pi, \frac\pi2 + k\pi\right]$ cresce, su $\left[\frac\pi2 + k\pi, (k+1)\pi\right)$ decresce (per simmetria).

Osservazione sul grafico. Vicino a $k\pi$ la curva è "schiacciata" sull'asse $x$: si stacca da $0$ con tangente orizzontale e molto lentamente. È l'effetto dell'esponenziale con esponente che va a $-\infty$.

Errori comuni

• Dire che il periodo è $2\pi$: il modulo lo dimezza.
• Studiare la funzione su $\left[0, \frac\pi2\right]$ includendo $0$: $0$ non è nel dominio; lo si recupera solo con il prolungamento.
• Concludere che il prolungamento è derivabile senza calcolare il limite di $f'$: la continuità da sola non basta.