Esercizio 102sviluppo di Mac-Laurin di log(cos x)

Testo (Lezione 31, esercizio 2 del foglio di ricapitolazione). Scrivere lo sviluppo di Mac Laurin fino al quarto (quinto) ordine di

$$f(x) = \log(\cos x) \qquad (\text{per } x \to 0)$$

(con $\log = \ln$, logaritmo in base $e$).

Due strade

Strada lunga: calcolare $f', f'', \dots, f^{(5)}$, valutarle in $0$ e usare la formula di Taylor$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + o(x^n)$ per $x \to 0$.Formula di Taylor con resto di Peano →. Funziona, ma le derivate di $\log(\cos x)$ diventano presto lunghissime ($f' = -\tan x$, $f'' = -1 - \tan^2 x$, …).

Strada corta: il polinomio di Taylor è unico. Quindi se, in qualunque modo, riusciamo a scrivere

$$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 + o(x^5) \qquad \text{per } x \to 0,$$

quel polinomio è per forza $T_5(x)$. E possiamo ottenerlo componendo sviluppi già noti (quelli di $\log(1+y)$ e di $\cos x$, vedi Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli →).

Passo 1: far comparire $\log(1 + y)$ con $y \to 0$

Lo sviluppo noto è quello di $\log(1+y)$ per $y \to 0$. Riscriviamo l'argomento aggiungendo e togliendo $1$:

$$\log(\cos x) = \log\big(1 + \underbrace{(\cos x - 1)}_{y}\big)$$

Per $x \to 0$, $\cos x \to 1$, quindi $y = \cos x - 1 \to 0$ ✓: si può usare lo sviluppo.

Passo 2: sviluppare $y = \cos x - 1$

Dallo sviluppo del coseno, che contiene solo potenze pari perché $\cos$ è una funzione pari$\cos(-x) = \cos x$: il suo sviluppo contiene solo potenze pari, quindi il coefficiente di $x^5$ è zero e si può scrivere $o(x^5)$ invece di $o(x^4)$.:

$$y = \cos x - 1 = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5)$$

In particolare $y \sim -\frac{x^2}{2}$: $y$ "si comporta come $x^2$".

Passo 3: quante potenze di $y$ servono

$$\log(1 + y) = y - \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} - \dots$$

Vogliamo un errore $o(x^5)$. Poiché $y \sim -\frac{x^2}{2}$:

• $y^2 \sim \frac{x^4}{4}$: grado 4 $\le 5$, serve;
• $y^3 \sim -\frac{x^6}{8}$: grado 6 $> 5$, è $o(x^5)$Trascurabile rispetto a $x^5$ per $x \to 0$: ogni potenza $x^6$, $x^7$, … lo è, perché $x^6/x^5 = x \to 0$. e si butta.

Però non basta scrivere $\log(1+y) = y - \frac{y^2}{2} + o(y^2)$: l'errore $o(y^2)$ sarebbe solo $o(x^4)$, non $o(x^5)$. Si scrive quindi lo sviluppo fino a $y^3$, con errore $o(y^3) = o(x^6)$, e poi si osserva che $\frac{y^3}{3}$ è $o(x^5)$ (è quello che la prof indica cancellando $\frac13 y^3$):

$$\log(1 + y) = y - \frac{y^2}{2} + \underbrace{\frac{y^3}{3} + o(y^3)}_{o(x^5)}$$

Passo 4: sostituire e sviluppare

$$\log(\cos x) = \left(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5)\right) - \frac12\left(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5)\right)^2 + o(x^5)$$

Il quadrato. Interessano solo le potenze fino a $x^5$. Nel quadrato il termine più basso è $\left(-\frac{x^2}{2}\right)^2 = \frac{x^4}{4}$; tutti gli altri prodotti hanno grado $\ge 6$ (per esempio il doppio prodotto $2 \cdot \left(-\frac{x^2}{2}\right) \cdot \frac{x^4}{24} = -\frac{x^6}{24}$), e quelli con l'$o(x^5)$ sono $x^2 \cdot o(x^5) = o(x^7)$. Quindi

$$\left(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5)\right)^2 = \frac{x^4}{4} + o(x^5)$$

Mettendo insieme:

$$\log(\cos x) = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac12 \cdot \frac{x^4}{4} + o(x^5) = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^4}{8} + o(x^5)$$

I coefficienti di $x^4$, con denominatore comune $24$: $\frac{1}{24} - \frac{3}{24} = -\frac{2}{24} = -\frac{1}{12}$.

$$\boxed{\log(\cos x) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} + o(x^5) \quad \text{per } x \to 0}$$

Quindi $T_4(x) = T_5(x) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12}$: i coefficienti di $x$, $x^3$, $x^5$ sono nulli. Non è un caso: $\log(\cos x)$ è pari (perché $\cos$ lo è), quindi ha solo potenze pari. Verifica con Python (sympy): $\log(\cos x) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} - \frac{x^6}{45} + \dots$ ✓.

Bonus (derivate in $0$). Dall'unicità, $a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}$: $f''(0) = 2! \cdot \left(-\frac12\right) = -1$ e $f^{(4)}(0) = 4! \cdot \left(-\frac{1}{12}\right) = -2$.

Attenzione: l'errore frequente

$$\log(\cos x) = \log\big(1 + (\cos x - 1)\big) \sim \cos x - 1 = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5) \quad \Longrightarrow \quad \log(\cos x) = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5) \quad \textbf{NO}$$

Dov'è l'errore? $\log(1 + y) \sim y$ significa $\log(1+y) = y + o(y)$, e qui manca il termine

$$+\,o\!\left(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5)\right) = o(x^2)$$

Con un $+\,o(x^2)$ in fondo, tutto ciò che si è scritto oltre $x^2$ non vale niente: dire "$= \ldots + o(x^2)$" equivale a dire che i coefficienti scritti sono corretti solo fino a $x^2$. E infatti il coefficiente di $x^4$ trovato così ($\frac1{24}$) è sbagliato: quello vero è $-\frac1{12}$, perché manca il contributo $-\frac{y^2}{2}$.

Riepilogo del metodo

1. Riscrivere la funzione nella forma di uno sviluppo noto con argomento $y \to 0$.
2. Sviluppare $y$ fino all'ordine richiesto; guardare a quale potenza è asintotico ($y \sim c\,x^p$).
3. Tenere le potenze $y^k$ con $kp \le n$, ma con errore $o(y^K)$ che sia $o(x^n)$.
4. Sostituire, buttare i termini di grado $> n$, sommare i coefficienti.