Lezione 12Limiti di successioni e sottosuccessioni

Data: venerdì 17 ottobre 2025 · Capitolo 3: Limiti e continuità (successioni) · Videolezione: n. 13 della playlist ("Lezione 12", 1h55)

Argomenti trattati

1. Successioni: definizione, notazione $(a_n)_{n \ge n_0}$, esempi $\frac1n$, $n$, $(-1)^n$.
2. Limite di una successione: idea intuitiva; definizione di limite finito (striscia $\ell \pm \varepsilon$, $N$ dipende da $\varepsilon$) e infinito; esercizi $\lim \frac1n = 0$ e $\lim n = +\infty$.
3. Proprietà della definizione: $\varepsilon$ piccolo a piacere, unico limite sensato per $n \to +\infty$, i primi termini non contano, "definitivamente"; nomenclatura (convergente, infinitesima, divergente, regolare, irregolare); limite per eccesso e per difetto.
4. Teorema di unicità del limite con dimostrazione.
5. Sottosuccessioni: pari, dispari, in generale; proprietà; criterio di non esistenza del limite; $(-1)^n$ è irregolare. Complementi in fondo al PDF: dimostrazioni delle proprietà.
6. Esercizi di ricapitolazione sulle funzioni (foglio vecchio): esercizio 9 ($\log(\cosh^2 x - 4\cosh x + 5)$ e $\log(\cos^2 x - 4\cos x + 5)$); inizio dell'esercizio 10 (traslazioni del grafico: $f(x + a)$ orizzontale, $f(x) + a$ verticale), concluso nella lezione 13.

Teoria

• Limiti di successioniUna successione ha limite l se, da un certo indice in poi, i suoi termini stanno vicini a l quanto si vuole; definizioni con epsilon, limiti infiniti e unicità.Limiti di successioni →
• SottosuccessioniUna sottosuccessione si ottiene prendendo infiniti termini di una successione con indici crescenti; se due sottosuccessioni hanno limiti diversi, il limite non esiste.Sottosuccessioni →
• Funzioni iperbolicheSeno, coseno e tangente iperbolici costruiti con e^x ed e^(-x), la relazione cosh^2 - sinh^2 = 1 e le loro inverse con formula esplicita.Funzioni iperboliche →, Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente.Funzioni trigonometriche e loro inverse → — per l'esercizio 9

Esercizi

• Esercizio 29 · limiti di 1/n e di n con la definizione — esercizi 1 e 2 della lezione
• Esercizio 30 · la successione (-1)ⁿ non ha limite — esercizio 3 della lezione
• Esercizio 31 · logaritmo di cosh e di cos, antimmagine di [1,+∞) — esercizio 9 del foglio

Lezione precedente: Lezione 11 · Funzioni periodiche e trigonometriche · Lezione successiva: Lezione 13 · Funzioni periodiche, successioni limitate e monotone