Esercizio 113serie con aⁿ, n! e nⁿ

Testo (Lezione 34, esempio "classico" in cui usare il criterio del rapporto). Per quali $a > 0$ convergono

$$1. \ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a^n}{n!} \qquad\qquad 2. \ \sum_{n=1}^{+\infty} a^n \cdot \frac{n!}{n^n} \ ?$$

Perché il criterio del rapporto

In entrambe le serie compaiono potenze con esponente $n$ e fattoriali: non c'è un asintotico semplice del tipo $\frac{1}{n^\alpha}$ o $q^n$. Invece nel rapporto $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ questi oggetti si semplificano quasi del tutto ($\frac{a^{n+1}}{a^n} = a$, $\frac{(n+1)!}{n!} = n + 1$). È la situazione tipica per il criterio del rapportoSe $a_n > 0$ e $a_{n+1}/a_n \to L$: con $L < 1$ la serie converge, con $L > 1$ diverge, con $L = 1$ non si sa.Criteri del rapporto e della radice per le serie →.

1. $\sum \frac{a^n}{n!}$

$a_n = \frac{a^n}{n!} > 0$ per ogni $n$ (perché $a > 0$). Il rapporto, scritto come prodotto per il reciproco:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{a^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{a^n}$$

Si usa $a^{n+1} = a^n \cdot a$ e $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$:

$$= \frac{\cancel{a^n} \cdot a \cdot \cancel{n!}}{(n+1) \cdot \cancel{n!} \cdot \cancel{a^n}} = \frac{a}{n+1} \ \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ 0$$

$L = 0 < 1$ per ogni $a > 0$: la serie 1 converge per ogni $a > 0$.

(Il fattoriale cresce più di qualunque esponenziale $a^n$: gli addendi vanno a zero velocissimi.)

2. $\sum a^n \frac{n!}{n^n}$

$a_n = a^n \frac{n!}{n^n} > 0$. Il rapporto:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{a^{n+1}\,(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{a^n\,n!}$$

Si usano $a^{n+1} = a^n \cdot a$, $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$ e anche $(n+1)^{n+1} = (n+1)^n \cdot (n+1)$:

$$= \frac{\cancel{a^n} \cdot a \cdot \cancel{(n+1)} \cdot \cancel{n!} \cdot n^n}{(n+1)^n \cdot \cancel{(n+1)} \cdot \cancel{a^n} \cdot \cancel{n!}} = a \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n} = \frac{a}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n} = \frac{a}{\left(1 + \frac1n\right)^n}$$

Per il limite notevole del numero $e$$\left(1 + \frac1n\right)^n \to e \approx 2{,}718$ per $n \to +\infty$, e la successione è strettamente crescente., $\left(1 + \frac1n\right)^n \to e$, quindi

$$L = \lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac ae$$

• $L < 1 \iff \frac ae < 1 \iff a < e$: la serie converge.
• $L > 1 \iff a > e$: la serie diverge.
• $L = 1 \iff a = e$: il criterio non dice nulla. Serve un ragionamento a parte.

Il caso $a = e$

Sostituendo $a = e$ nel rapporto:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{e}{\left(1 + \frac1n\right)^n}$$

La successione $\left(1 + \frac1n\right)^n$ è strettamente crescente e tende a $e$: quindi sta sempre sotto $e$, cioè $\left(1 + \frac1n\right)^n < e$ per ogni $n$. Allora

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{e}{\left(1 + \frac1n\right)^n} > 1 \quad \Longrightarrow \quad a_{n+1} > a_n$$

(si moltiplica per $a_n > 0$). La successione degli addendi è strettamente crescente e positiva: parte da $a_1 = e \cdot \frac{1}{1} = e$ e cresce, quindi non può tendere a $0$. Per la condizione necessariaSe gli addendi non tendono a 0, la serie non converge.Serie numeriche → la serie non converge; essendo a termini positivi, diverge.

Riepilogo

Controllo numerico (Python): per $a = e$ gli addendi valgono $a_1 \approx 2{,}72$, $a_{10} \approx 8{,}0$, $a_{100} \approx 25{,}1$: crescono (circa come $\sqrt{2\pi n}$), quindi la serie diverge ✓.

Errori comuni

• Dimenticare di spezzare $(n+1)^{n+1}$ in $(n+1)^n (n+1)$: senza questo passaggio il fattoriale non si semplifica.
• Concludere "converge" o "diverge" con $L = 1$: il caso $a = e$ va trattato a parte.
• Credere che $\left(1 + \frac1n\right)^n$ possa superare $e$: è crescente con limite $e$, quindi resta sotto.