Esercizio 40forma 1^∞ e il numero e

Testo (Lezione 15, esercizio 8). Calcolare

$$\lim_n \left(\frac{n - 1}{n + 4}\right)^{3n + 1}$$

Passo 0: perché è una forma indeterminata

• La base $\frac{n-1}{n+4}$ tende a $1$ (quoziente di polinomi dello stesso grado con coefficienti direttivi $1$ e $1$).
• L'esponente $3n + 1$ tende a $+\infty$.

È la forma "$1^\infty$". Viene da pensare "$1$ elevato a qualunque cosa fa $1$", ma è sbagliato: la base non è $1$, è un numero un po' diverso da $1$, e elevandolo a potenze sempre più grandi lo scarto può crescere. Esempio già visto: $\left(1 + \frac1n\right)^n \to e \ne 1$.

Lo strumento è il limite notevole del numero $e$Per ogni x reale e ogni a_n che tende a ±∞: (1 + x/a_n)^(a_n) tende a e^x.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →:

$$\lim_n \left(1 + \frac{x}{a_n}\right)^{a_n} = e^x \qquad \text{se } a_n \to \pm\infty$$

Passo 1: scrivere la base come "$1 +$ qualcosa che va a $0$"

Il trucco della prof: se $a_n \to 1$, allora $a_n = 1 + (a_n - 1)$ e la parte $a_n - 1$ tende a $0$. Qui

$$\frac{n-1}{n+4} - 1 = \frac{n - 1 - (n + 4)}{n + 4} = \frac{-5}{n + 4}$$

quindi

$$\frac{n-1}{n+4} = 1 + \frac{-5}{n + 4}$$

Ora la base ha la forma $1 + \frac{x}{a_n}$ con $x = -5$ e $a_n = n + 4 \to +\infty$.

Passo 2: sistemare l'esponente

Il limite notevole vuole come esponente lo stesso $a_n = n + 4$ che sta al denominatore. Si riscrive l'esponente $3n + 1$ in funzione di $n + 4$:

$$3n + 1 = 3(n + 4) - 12 + 1 = 3(n + 4) - 11$$

e con le proprietà delle potenze ($A^{p + q} = A^p A^q$ e $A^{pq} = (A^p)^q$):

$$\left(1 + \frac{-5}{n+4}\right)^{3n+1} = \left[\left(1 + \frac{-5}{n+4}\right)^{n+4}\right]^3 \cdot \left(1 + \frac{-5}{n+4}\right)^{-11}$$

Passo 3: il limite di ciascun pezzo

• $\left(1 + \frac{-5}{n+4}\right)^{n+4} \to e^{-5}$ per il limite notevole con $x = -5$; alla terza potenza: $\left(e^{-5}\right)^3 = e^{-15}$ (la potenza "passa dentro" il limite, perché è una funzione elementare).
• $\left(1 + \frac{-5}{n+4}\right)^{-11} \to 1^{-11} = 1$: qui l'esponente è fisso ($-11$), quindi non c'è nessuna forma indeterminata.

Per l'algebra dei limiti (prodotto di due successioni convergenti):

$$\lim_n \left(\frac{n - 1}{n + 4}\right)^{3n + 1} = e^{-15} \cdot 1 = e^{-15}$$

Verifica numerica. $e^{-15} \approx 3{,}059 \cdot 10^{-7}$. Il valore della successione con $n = 1000$ è circa $3{,}113 \cdot 10^{-7}$, con $n = 10\,000$ circa $3{,}064 \cdot 10^{-7}$ ✓.

Un modo rapido per prevedere il risultato. Nel limite notevole conta il prodotto "scarto × esponente": $\frac{-5}{n+4} \cdot (3n + 1) \to -5 \cdot 3 = -15$. È proprio l'esponente di $e$.

Il metodo generale: la forma esponenziale

La prof avverte: "non la faremo mai così". Il metodo che si userà sempre (quando avremo i limiti notevoli del logaritmo) è scrivere la potenza come esponenziale:

$$a_n^{b_n} = e^{\log\left(a_n^{b_n}\right)} = e^{b_n \log a_n}$$

e calcolare $\lim_n b_n \log a_n = \ell$: il risultato è $e^\ell$. Qui

$$\left(\frac{n-1}{n+4}\right)^{3n+1} = e^{(3n+1)\log\left(\frac{n-1}{n+4}\right)} = e^{(3n+1)\log\left(1 + \frac{-5}{n+4}\right)}$$

e l'esponente è della forma $+\infty \cdot 0$ ($\log(1 + \text{qualcosa che va a } 0) \to \log 1 = 0$). Si vedrà che $\log(1 + t_n) \approx t_n$ quando $t_n \to 0$, e quindi l'esponente si comporta come $(3n + 1) \cdot \frac{-5}{n+4} \to -15$: di nuovo $e^{-15}$.

Perché funziona: $e^X$ è una funzione elementare, e "passa dentro" il limite: $\lim_n e^{c_n} = e^{\lim_n c_n}$.

Errori comuni

• "$1^\infty = 1$": è una forma indeterminata.
• Usare il limite notevole con l'esponente sbagliato: in $\left(1 + \frac{x}{a_n}\right)^{a_n}$ l'esponente deve essere lo stesso $a_n$ del denominatore; se non lo è, va riscritto come nel passo 2.
• Dimenticare il segno di $x$: qui lo scarto è $-\frac{5}{n+4}$, negativo, e il risultato è $e^{-15}$, non $e^{15}$.