Esercizio 112serie con sinh e sin al variare di a

Testo (Lezione 34, esercizio 5 del foglio). Discutere al variare del parametro $a \in \mathbb{R}$ il carattere della serie

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \left[\sinh\left(\frac{1}{n^a}\right) - \sin\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n}}\right)\right] \cdot \frac{3^{-\frac1n}}{n^a}$$

Il segno: non serve deciderlo subito

$$a_n = \left[\sinh\left(\frac{1}{n^a}\right) - \sin\left(\frac{1}{n^{1/3}}\right)\right] \cdot \frac{3^{-1/n}}{n^a}$$

È definitivamente $\ge 0$? Non si vede a occhio (dipende da quale dei due termini nella parentesi è più grande). Non serve discuterlo a priori: si trova a che cosa è asintotica $a_n$, e $a_n$ avrà definitivamente lo stesso segno del suo asintotico (se $a_n \sim b_n$, il rapporto tende a $1 > 0$, quindi da un certo punto hanno lo stesso segno).

Si scrive $a_n = F_1 \cdot F_2 \cdot F_3$ e si studia un fattore alla volta.

I fattori facili

• $F_1 = 3^{-1/n}$: $-\frac1n \to 0$, quindi $F_1 \to 3^0 = 1$, $F_1 \sim 1$.
• $F_2 = \frac{1}{n^a}$: è già la forma di una serie notevole.

Il fattore $F_3 = \sinh\left(\frac{1}{n^a}\right) - \sin\left(\frac{1}{n^{1/3}}\right)$

Attenzione. Lo sviluppo $\sinh y = y + \frac{y^3}{6} + o(y^3)$ (Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli →) vale per $y \to 0$. Con $y = \frac{1}{n^a}$, questo succede solo se $a > 0$. Il secondo termine invece va sempre bene: $\frac{1}{n^{1/3}} \to 0$.

Caso $a < 0$

$\frac{1}{n^a} = n^{-a} = n^{|a|} \to +\infty$, quindi $\sinh\left(\frac{1}{n^a}\right) \to +\infty$, mentre $\sin\left(\frac{1}{n^{1/3}}\right) \to \sin 0 = 0$. Allora $F_3 \to +\infty$ e anche $F_2 = n^{|a|} \to +\infty$:

$$\lim_n a_n = 1 \cdot (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty \neq 0$$

Per la condizione necessariaSe la serie converge, gli addendi tendono a 0.Serie numeriche → la serie non converge; siccome $a_n > 0$ definitivamente (tende a $+\infty$), diverge a $+\infty$.

Caso $a = 0$

$F_2 = 1$ e $F_3 = \sinh(1) - \sin\left(\frac{1}{n^{1/3}}\right) \to \sinh 1 - 0 = \sinh 1 > 0$. Quindi $a_n \to \sinh 1 \neq 0$: la serie diverge (stesso motivo).

Caso $a > 0$

Ora entrambi gli argomenti tendono a $0$ e si sviluppano entrambi, con $\sin y = y - \frac{y^3}{6} + o(y^3)$:

$$F_3 = \frac{1}{n^a} + \frac16 \cdot \frac{1}{n^{3a}} + o\!\left(\frac{1}{n^{3a}}\right) - \frac{1}{n^{1/3}} + \frac16 \cdot \frac1n + o\!\left(\frac1n\right)$$

(il cubo di $\frac{1}{n^{1/3}}$ è $\frac1n$.) Chi domina dipende dal confronto tra $\frac{1}{n^a}$ e $\frac{1}{n^{1/3}}$: per $n \to +\infty$ è più grande quella con l'esponente più piccolo (va a zero più lentamente).

• $0 < a < \frac13$: domina $\frac{1}{n^a}$, quindi $F_3 \sim \frac{1}{n^a}$.
• $a = \frac13$: i due termini principali si cancellano ($\frac{1}{n^{1/3}} - \frac{1}{n^{1/3}} = 0$) e restano i cubi: $F_3 = \frac16 \cdot \frac1n + \frac16 \cdot \frac1n + o\left(\frac1n\right) = \frac13 \cdot \frac1n + o\left(\frac1n\right) \sim \frac13 \cdot \frac1n$. (Ecco perché servivano i termini di terzo grado.)
• $a > \frac13$: domina $-\frac{1}{n^{1/3}}$, quindi $F_3 \sim -\frac{1}{n^{1/3}}$.

Conclusione per $a > 0$

Moltiplicando $F_1 \sim 1$, $F_2 = \frac{1}{n^a}$ e l'asintotico di $F_3$, e confrontando con la serie armonica generalizzata$\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge se e solo se $\alpha > 1$.Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → (corollario del confronto asintotico, punto 1):

$0 < a < \frac13$: $a_n \sim \frac{1}{n^a} \cdot \frac{1}{n^a} = \frac{1}{n^{2a}}$, definitivamente $> 0$. Converge se e solo se $2a > 1$, cioè $a > \frac12$: impossibile, perché $a < \frac13$. Diverge.

$a = \frac13$: $a_n \sim \frac{1}{n^{1/3}} \cdot \frac13 \cdot \frac1n = \frac13 \cdot \frac{1}{n^{4/3}}$, definitivamente $> 0$, con esponente $\frac43 > 1$. Converge.

$a > \frac13$: $a_n \sim \frac{1}{n^a} \cdot \left(-\frac{1}{n^{1/3}}\right) = -\frac{1}{n^{a + 1/3}}$: ora $a_n < 0$ definitivamente. Si studia $\sum(-a_n)$, a termini positivi, asintotica a $\frac{1}{n^{a+1/3}}$:

• converge se $a + \frac13 > 1$, cioè $a > \frac23$;
• diverge (a $+\infty$, quindi la serie data a $-\infty$) se $\frac13 < a \le \frac23$.

Riepilogo

La serie converge per $a = \frac13$ e per $a > \frac23$.

Verifica numerica (Python, $n = 10^9$): il rapporto tra $a_n$ e l'asintotico della tabella vale circa $1$ per $a = \frac13$ e $a = 1$ (e si avvicina a $1$, più lentamente, per $a = 0{,}2$ e $a = 0{,}5$) ✓.

Errori comuni

• Sviluppare $\sinh\left(\frac{1}{n^a}\right)$ anche per $a \le 0$: l'argomento non tende a $0$.
• Fermarsi al primo ordine ($\sinh y \sim y$, $\sin y \sim y$) nel caso $a = \frac13$: si otterrebbe $F_3 = o\left(\frac{1}{n^{1/3}}\right)$, inutile.
• Applicare i criteri per serie positive quando $a_n < 0$: si passa a $-a_n$.