Successioni limitate e monotone

Lezione 13. Prerequisiti: Limiti di successioniUna successione ha limite l se, da un certo indice in poi, i suoi termini stanno vicini a l quanto si vuole; definizioni con epsilon, limiti infiniti e unicità.Limiti di successioni →, Estremo superiore (sup)Maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore (il più piccolo dei maggioranti) e inferiore, con la caratterizzazione con epsilon.Estremo superiore (sup) →.

Successioni limitate

$(a_n)_{n \ge n_0}$ è:

• inferiormente limitata se $\exists L_1 \in \mathbb{R}$ con $a_n \ge L_1$ per ogni $n \ge n_0$;
• superiormente limitata se $\exists L_2 \in \mathbb{R}$ con $a_n \le L_2$ per ogni $n \ge n_0$;
• limitata se $\exists L_1, L_2 \in \mathbb{R}$ con $L_1 \le a_n \le L_2$ per ogni $n \ge n_0$.

(Sono le definizioni di funzione limitataUna funzione è limitata, ha sup, inf, massimo o minimo quando li ha la sua immagine; valori e punti di massimo e minimo.Funzioni limitate, sup, inf, max e min → applicate alle successioni: sul grafico, i punti stanno sopra una retta orizzontale, sotto una retta, o in una striscia.)

Un modo equivalente, molto comodo

Proposizione (da sapere). $(a_n)_{n \ge n_0}$ è limitata se e solo se esiste $M > 0$ tale che

$$|a_n| \le M \qquad \forall n \ge n_0$$

Dimostrazione.

• ($\Leftarrow$) $|a_n| \le M \iff -M \le a_n \le M$: basta prendere $L_1 = -M$ e $L_2 = M$.
• ($\Rightarrow$) Se $L_1 \le a_n \le L_2$, allora $$-|L_1| - |L_2| \le -|L_1| \le L_1 \le a_n \le L_2 \le |L_2| \le |L_2| + |L_1|$$ (un numero sta sempre tra meno il suo modulo e il suo modulo). Posto $M = |L_1| + |L_2|$ (se fosse $0$ si prende $M = 1$), si ha $-M \le a_n \le M$, cioè $|a_n| \le M$ ∎.

Perché è comoda. Per dimostrare che una successione è limitata basta maggiorare il modulo con le proprietà del valore assolutoIl valore assoluto è la distanza di un numero da zero: definizione, proprietà, disuguaglianza triangolare e disequazioni con i moduli.Valore assoluto (modulo) →, senza preoccuparsi dei segni.

Esempio. $a_n = \dfrac{(-1)^n \sin(n^2)}{n + 2} \cdot n$, $n \in \mathbb{N}$. È limitata? Calcoliamo il modulo usando $|xy| = |x||y|$:

$$|a_n| = |(-1)^n| \cdot |\sin(n^2)| \cdot \frac{n}{n + 2} \le 1 \cdot 1 \cdot \frac{n}{n+2} \le 1$$

perché $|(-1)^n| = 1$, $|\sin(\ldots)| \le 1$, e $\frac{n}{n+2} \le 1$ (dato che $n \le n + 2$). Quindi $|a_n| \le 1$ per ogni $n$: sì, è limitata, con $M = 1$.

Le successioni convergenti sono limitate

Teorema 2 (da sapere). Ogni successione convergente è limitata.

Dimostrazione. Sia $\lim_n a_n = \ell \in \mathbb{R}$. Fissato un $\varepsilon > 0$ (per esempio $\varepsilon = 1$), esiste $N \ge n_0$ con

$$\ell - \varepsilon < a_n < \ell + \varepsilon \qquad \forall n > N$$

Spezziamo i termini in due gruppi:

$$\{a_n : n \ge n_0\} = \underbrace{\{a_{n_0}, a_{n_0+1}, \dots, a_N\}}_{\text{insieme finito}} \ \cup \ \underbrace{\{a_{N+1}, a_{N+2}, \dots\}}_{\text{stanno tra } \ell - \varepsilon \text{ e } \ell + \varepsilon}$$

Il primo gruppo è finito, quindi ha un minimo $m$ e un massimo $M$. Scegliendo $L_1 = \min\{m, \ell - \varepsilon\}$ e $L_2 = \max\{M, \ell + \varepsilon\}$ si ha $L_1 \le a_n \le L_2$ per ogni $n \ge n_0$ ∎.

Attenzione: il viceversa è falso. Convergente $\Rightarrow$ limitata, ma limitata $\not\Rightarrow$ convergente. Esempio: $a_n = (-1)^n$ è limitata ($|a_n| = 1$) ma irregolare (vedi Esercizio 30 · la successione (-1)ⁿ non ha limite).

C'è però un caso in cui "limitata" basta per convergere: quando la successione è monotona.

Successioni monotone

$(a_n)_{n \ge n_0}$ è:

1. crescente se $a_{n+1} \ge a_n$ per ogni $n \ge n_0$ (strettamente crescente se $a_{n+1} > a_n$);
2. decrescente se $a_{n+1} \le a_n$ per ogni $n \ge n_0$ (strettamente se $a_{n+1} < a_n$).

È la stessa cosa della definizione per le funzioni (Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →): "per ogni $n < m$, $a_n \le a_m$".

• Se vale "$n < m \Rightarrow a_n \le a_m$", scegliendo $m = n + 1$ si ottiene $a_n \le a_{n+1}$.
• Viceversa, se $a_{n+1} \ge a_n$ per ogni $n$, e $m = n + p$ con $p \ge 1$, applicando la regola $p$ volte: $a_m = a_{n+p} \ge a_{n+p-1} \ge \dots \ge a_n$.

Il vantaggio della definizione con $a_{n+1}$ e $a_n$ è che basta confrontare termini consecutivi.

Teorema sul limite delle successioni monotone

Teorema 3. Se $(a_n)_{n \ge n_0}$ è monotona e limitata, allora è convergente. Più precisamente:

1. se è crescente, $\displaystyle\lim_n a_n = \sup\{a_n : n \ge n_0\}$;
2. se è decrescente, $\displaystyle\lim_n a_n = \inf\{a_n : n \ge n_0\}$.

Osservazione: 1 e 2 valgono anche per successioni monotone illimitate: in quel caso il limite è $+\infty$ (crescente) o $-\infty$ (decrescente), che sono proprio il sup e l'inf dell'insieme dei termini.

Conseguenza importante: le successioni monotone sono sempre regolari (il limite esiste sempre, finito o infinito).

Dimostrazione di 1. Sia $(a_n)$ crescente e limitata. Essendo limitata, esiste $S = \sup\{a_n : n \ge n_0\} \in \mathbb{R}$ (per la proprietà del sup di ℝLe tre proprietà equivalenti che R ha e Q no: continuità, separazione ed esistenza del sup; densità di Q in R.Completezza di R (continuità, separazione, sup) →). Per la caratterizzazione del sup:

1. $S \ge a_n$ per ogni $n \ge n_0$;
2. $\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \ge n_0$ con $a_N > S - \varepsilon$.

Poiché la successione è crescente, per ogni $n > N$ si ha $a_n \ge a_N$. Quindi, per $\varepsilon$ e $N$ come nel punto 2, per ogni $n > N$:

$$S - \varepsilon < a_N \le a_n \le S < S + \varepsilon$$

cioè $|a_n - S| < \varepsilon$ per ogni $n > N$: è la definizione di $\lim_n a_n = S$ ∎.

Idea: un termine $a_N$ entra nella striscia sotto $S$ (perché $S$ è il sup), e poiché la successione cresce senza mai superare $S$, tutti i successivi restano nella striscia.

Applicazione: inf, sup, min, max di $E = \{a_n : n \ge n_0\}$

Il teorema dà un metodo rapido per gli esercizi su max, min, inf, supLa procedura passo per passo per trovare e dimostrare massimo, minimo, inf e sup di un insieme.Metodo - max min inf sup di un insieme → di insiemi del tipo $E = \{a_n\}$:

• $(a_n)$ crescente: $\min E = a_{n_0}$ (il primo termine) e $\sup E = \lim_n a_n$. Il $\max E$ esiste solo se la successione da un certo punto in poi è costante; altrimenti non esiste.
• $(a_n)$ decrescente: $\max E = a_{n_0}$ e $\inf E = \lim_n a_n$. Il $\min E$ esiste solo se la successione diventa costante.

Attenzione: se $(a_n)$ non è monotona, $\inf E$ e $\sup E$ possono essere entrambi diversi dal limite. Esempio: $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$, $n \ge 1$, ha limite $0$, ma non è monotona. Si spezza in sottosuccessioni monotone: sui pari $E_P = \{\frac1n : n \text{ pari}\}$ è decrescente, con $\max E_P = \frac12$ (per $n = 2$) e $\inf E_P = \lim \frac1n = 0$; sui dispari $E_D = \{-\frac1n : n \text{ dispari}\}$ è crescente, con $\min E_D = -1$ (per $n = 1$) e $\sup E_D = 0$. Quindi $\min E = \min\{0, -1\} = -1$ e $\max E = \max\{\frac12, 0\} = \frac12$: il limite $0$ non è né il min né il max di $E$. Svolgimento completo: Esercizio 34 · max e min di (-1)ⁿ/n.

Errori comuni

• "Limitata, quindi convergente": vale solo se è anche monotona.
• Dimenticare che una successione monotona illimitata ha comunque limite ($\pm\infty$).
• Usare "limite = sup" per una successione non monotona.