Lezione 13Funzioni periodiche, successioni limitate e monotone

Data: lunedì 20 ottobre 2025 · Capitolo 3: Limiti e continuità (successioni) · Videolezione: n. 15 della playlist ("Lezione 13", 1h40)

Argomenti trattati

1. Fine degli esercizi del foglio vecchio: esercizio 10 (grafici di $f(x)$, $f(|x|)$, $|f(x)|$ per una funzione a tratti con l'esponenziale); esercizio 11 (dominio, segno, simmetrie e periodicità di quattro funzioni). La soluzione completa dell'esercizio 11 è in fondo al PDF.
2. Proprietà delle funzioni periodiche: $f(cx)$ ha periodo $\frac{T}{c}$; somme, prodotti e quozienti di funzioni periodiche sono periodici solo se il rapporto dei periodi è razionale; $\cos^2 x$, $\sin^2 x$, $|\cos x|$, $|\sin x|$ hanno periodo $\pi$.
3. Teoremi generali sui limiti di successioni: successioni limitate e caratterizzazione con $|a_n| \le M$; Teorema 2 (le convergenti sono limitate); successioni monotone; Teorema 3 (limite delle successioni monotone) con applicazione a inf, sup, min, max di $\{a_n\}$; esempio $\frac{(-1)^n}{n}$.
4. Teoremi di calcolo dei limiti (inizio): premessa ($C\varepsilon$, $\lim a_n = 0 \iff \lim |a_n| = 0$, funzioni elementari e limiti); enunciato del Teorema 1 sull'algebra dei limiti.

Teoria

• Composizione e operazioni tra funzioniLa composta g(f(x)) e come trovarne il dominio, somma, prodotto e quoziente di funzioni, e i grafici di f(x+a), f(x)+a, f(|x|) e |f(x)|.Composizione e operazioni tra funzioni → — grafici di $f(x + a)$, $f(x) + a$, $f(|x|)$, $|f(x)|$
• Funzioni periodicheUna funzione è periodica di periodo T se si ripete uguale dopo ogni intervallo di lunghezza T; f(cx) ha periodo T/c, e somme o prodotti di periodiche sono periodici solo se il rapporto dei periodi è razionale.Funzioni periodiche → — proprietà (periodo di $f(cx)$, somme e prodotti)
• Successioni limitate e monotoneOgni successione convergente è limitata (non viceversa); ogni successione monotona ha limite, uguale al sup se crescente e all'inf se decrescente.Successioni limitate e monotone →
• Calcolo dei limiti di successioniGli strumenti per calcolare i limiti senza la definizione: algebra dei limiti, permanenza del segno, carabinieri, infinitesima per limitata, algebra degli infiniti, reciproco, confronto per le divergenti e forme indeterminate.Calcolo dei limiti di successioni → — premessa e algebra dei limiti

Esercizi

• Esercizio 32 · traslazioni e valori assoluti nei grafici — esercizio 10 del foglio
• Esercizio 33 · dominio, segno, simmetrie e periodicità — esercizio 11 del foglio
• Esercizio 34 · max e min di (-1)ⁿ/n — esempio della lezione

Lezione precedente: Lezione 12 · Limiti di successioni e sottosuccessioni · Lezione successiva: Lezione 14 · Teoremi di calcolo dei limiti di successioni