Lezione 32Esercizi su Taylor e inizio delle serie

Data: venerdì 21 novembre 2025 · Capitoli 4 (fine) e 5: Calcolo differenziale, Serie numeriche · Videolezione: n. 33 della playlist ("Lezione 32", 1h38)

Argomenti trattati

1. Esercizi di ricapitolazione dal foglio: sviluppo di Mac-Laurin di $(1+2x)^{\sinh x}$ (es. 3); derivate quinta e sesta in $0$ lette dallo sviluppo (es. 4); limite con radici al variare di $\alpha$, con il trucco di raccogliere sotto radice (es. 5); ordine di infinito al variare di $\alpha$, con l'attenzione sullo sviluppo di $\arctan\left(\frac{1}{x^\alpha}\right)$ (es. 6); studio di $3^{-1/|\sin x|}$ con prolungamento per continuità e derivabilità del prolungamento (es. 11).
2. Inizio delle serie numeriche: obiettivi e applicazioni; somma parziale, serie, somma della serie; serie convergenti, divergenti, irregolari; attenzione alla notazione; serie che partono da un indice $N$; esempi $\sum k$, $\sum (-1)^k$ e la lunghezza di $[0, 2]$ come $\sum \frac{1}{2^k}$ (concluso nella lezione 33).

Teoria

• Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli →, Formula di Taylor con resto di PeanoUna funzione derivabile n volte in x0 si scrive, vicino a x0, come un polinomio di grado al più n (il polinomio di Taylor, costruito con le derivate in x0) più un errore o((x-x0)^n); il polinomio è unico. Per x0 = 0 si chiama sviluppo di Mac-Laurin.Formula di Taylor con resto di Peano → — per gli esercizi 3–6
• Serie numericheUna serie è la successione delle somme parziali s_n = a_0 + ... + a_n; la sua somma è il limite di s_n (converge, diverge o è irregolare). Proprietà generali e condizione necessaria: se la serie converge, gli addendi tendono a 0.Serie numeriche →

Esercizi

• Esercizio 103 · sviluppo di Mac-Laurin di (1+2x)^sinh x — esercizio 3 del foglio
• Esercizio 104 · derivate quinta e sesta in 0 senza derivare — esercizio 4
• Esercizio 105 · limite con radici al variare di α — esercizio 5
• Esercizio 106 · ordine di infinito al variare di α — esercizio 6
• Esercizio 107 · studio di 3^-1/ modulo di sin x) — esercizio 11

Lezione precedente: Lezione 31 · Formula di Taylor