Esercizio 41esponenziali, gerarchia degli infiniti e forma 0/0

Testo (Lezione 15, esercizi 9, 11 e 10). Calcolare

1. $\displaystyle\lim_n \frac{6^n - 2 \cdot 3^n + 6\cos^4 n}{\pi^n + e^{2n} + \arctan^5 n}$
2. $\displaystyle\lim_n \frac{2^n - \sqrt n + n^{\sqrt3}}{\log^5 n - n!}$
3. $\displaystyle\lim_n \frac{\frac2n - \frac{\sin(n^2)}{n^2}}{\frac{1}{\sqrt n} - \frac{3\pi}{n}}$

1. Esponenziali con basi diverse

Forma

Numeratore e denominatore tendono a $+\infty$ (sono dominati da esponenziali con base $> 1$): forma $\frac{\infty}{\infty}$.

Chi è il più grande

Per le successioni esponenzialiSe 1 < a₁ < a₂, allora a₁ⁿ / a₂ⁿ = (a₁/a₂)ⁿ tende a 0: vince la base più grande.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti → vince la base più grande.

• Numeratore: basi $6$ e $3$; vince $6^n$. Il pezzo $6\cos^4 n$ è limitato.
• Denominatore: $e^{2n} = (e^2)^n$, con base $e^2 \approx 7{,}389$; l'altra base è $\pi \approx 3{,}14$. Vince $e^{2n}$, perché $\pi < e^2$. Il pezzo $\arctan^5 n$ è limitato.

(È importante riscrivere $e^{2n}$ come $(e^2)^n$: la base è $e^2$, non $e$.)

Raccogliere

$$\frac{6^n\left[1 - 2\left(\frac36\right)^n + \dfrac{6\cos^4 n}{6^n}\right]}{e^{2n}\left[1 + \left(\frac{\pi}{e^2}\right)^n + \dfrac{\arctan^5 n}{e^{2n}}\right]}$$

Nelle parentesi:

• $\left(\frac36\right)^n = \left(\frac12\right)^n \to 0$ e $\left(\frac{\pi}{e^2}\right)^n \to 0$: $a^n \to 0$ per $-1 < a < 1$Le potenze di un numero di modulo minore di 1 si avvicinano a 0.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →, e $\frac12$, $\frac{\pi}{e^2} \approx 0{,}425$ sono tra $0$ e $1$;
• $\frac{6\cos^4 n}{6^n} = \frac{1}{6^n} \cdot 6\cos^4 n \to 0$ e $\frac{\arctan^5 n}{e^{2n}} \to 0$: infinitesima per limitata (le basi sono $> 1$, quindi $\frac{1}{6^n} \to 0$ e $\frac{1}{e^{2n}} \to 0$).

Le parentesi tendono a $1$. Resta

$$\lim_n \frac{6^n}{e^{2n}} = \lim_n \left(\frac{6}{e^2}\right)^n = 0$$

perché $0 < \frac{6}{e^2} \approx 0{,}812 < 1$ (infatti $6 < e^2 \approx 7{,}389$).

Verifica numerica. Con $n = 20$ il quoziente vale circa $0{,}01553$ e $\left(\frac{6}{e^2}\right)^{20} \approx 0{,}01553$ ✓.

2. Il fattoriale: serve la gerarchia

Il problema

Al numeratore ci sono un esponenziale ($2^n$) e due potenze ($\sqrt n = n^{1/2}$ e $n^{\sqrt3}$); al denominatore un logaritmo ($\log^5 n$) e un fattoriale ($n!$). Per raccogliere bisogna sapere chi cresce più in fretta tra tipi diversi di successioni.

La gerarchia degli infiniti

$$\log^p n \ \prec \ n^\alpha \ \prec \ a^n \ \prec \ n! \ \prec \ n^n \qquad (p > 0,\ \alpha > 0,\ a > 1)$$

dove $\prec$ vuol dire "è un infinito di ordine inferiore" (gerarchia delle successioni infiniteOgni successione della lista, divisa per una che sta alla sua destra, tende a 0.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →).

• Numeratore: $2^n$ (esponenziale) batte $n^{1/2}$ e $n^{\sqrt3}$ (potenze). Vince $2^n$.
• Denominatore: $n!$ batte $\log^5 n$. Vince $-n!$ (con il suo segno meno).

Raccogliere

$$\frac{2^n\left[1 - \dfrac{n^{1/2}}{2^n} + \dfrac{n^{\sqrt3}}{2^n}\right]}{-n!\left[1 - \dfrac{\log^5 n}{n!}\right]}$$

Per la gerarchia, $\frac{n^{1/2}}{2^n} \to 0$, $\frac{n^{\sqrt3}}{2^n} \to 0$ e $\frac{\log^5 n}{n!} \to 0$: le parentesi tendono a $1$. Resta

$$\lim_n \frac{2^n}{-n!} = -\lim_n \frac{2^n}{n!} = 0$$

perché il fattoriale batte l'esponenziale: $\frac{a^n}{n!} \to 0$ per ogni $a > 1$.

Verifica numerica. Con $n = 20$ il quoziente vale circa $-4{,}3 \cdot 10^{-13}$: è negativo e già piccolissimo ✓.

Rivisto con l'asintoticità (lezione 16)

Con il linguaggio dell'o-piccoloa_n = o(b_n) se a_n/b_n tende a 0; a_n ~ b_n se il rapporto tende a 1, e allora a_n = b_n + o(b_n).Asintoticità e o-piccolo → lo stesso calcolo si scrive in una riga: $-\sqrt n$ e $n^{\sqrt3}$ sono $o(2^n)$, e $\log^5 n = o(n!)$, quindi

$$\lim_n \frac{2^n + o(2^n)}{-n! + o(n!)} = \lim_n \frac{2^n}{-n!} = 0$$

Numeratore e denominatore sono asintotici rispettivamente a $2^n$ e a $-n!$, e in un quoziente ogni fattore si può sostituire con uno asintotico.

3. La forma $\frac00$

Forma

• Numeratore: $\frac2n \to 0$ e $\frac{\sin(n^2)}{n^2} \to 0$ (infinitesima per limitata), quindi tende a $0$.
• Denominatore: $\frac{1}{\sqrt n} \to 0$ e $\frac{3\pi}{n} \to 0$, quindi tende a $0$.

Forma $\frac00$, indeterminata.

La "successione più grande" tra quelle che vanno a zero

Con gli infinitesimi l'idea è la stessa, ma "più grande" vuol dire che va a zero più lentamente:

• tra $\frac1n$ e $\frac{1}{n^2}$: con $n = 10$ valgono $\frac{1}{10}$ e $\frac{1}{100}$; il più grande è $\frac1n$;
• tra $\frac{1}{n^{1/2}}$ e $\frac1n$: con $n = 100$ valgono $\frac{1}{10}$ e $\frac{1}{100}$; il più grande è $\frac{1}{\sqrt n}$.

Raccogliere

$$\frac{\dfrac2n\left[1 - \dfrac{\sin(n^2)}{2n}\right]}{\dfrac{1}{\sqrt n}\left[1 - \dfrac{3\pi}{\sqrt n}\right]}$$

(controllo: $\frac2n \cdot \frac{\sin(n^2)}{2n} = \frac{\sin(n^2)}{n^2}$ e $\frac{1}{\sqrt n} \cdot \frac{3\pi}{\sqrt n} = \frac{3\pi}{n}$ ✓).

Nelle parentesi: $\frac{\sin(n^2)}{2n} = \frac{1}{2n} \cdot \sin(n^2) \to 0$ (infinitesima per limitata) e $\frac{3\pi}{\sqrt n} \to 0$. Le parentesi tendono a $1$, e resta

$$\lim_n \frac{2/n}{1/\sqrt n} = \lim_n \frac{2\sqrt n}{n} = \lim_n \frac{2}{\sqrt n} = 0$$

Verifica numerica. Con $n = 10^6$ il quoziente vale circa $0{,}00202$ e $\frac{2}{\sqrt n} = 0{,}002$ ✓. (Per $n$ piccolo il denominatore è addirittura negativo: $\frac{1}{\sqrt n} < \frac{3\pi}{n}$ finché $\sqrt n < 3\pi$, cioè $n < 89$ circa. Non importa: conta solo il comportamento definitivo.)

Errori comuni

• Leggere $e^{2n}$ come un esponenziale di base $e$: la base è $e^2 \approx 7{,}39$, ed è per questo che batte $6^n$.
• Fidarsi dei primi valori per decidere chi vince. Con una potenza alta la potenza può restare davanti a lungo: $n^{10}$ è più grande di $2^n$ fino a $n = 58$ (con $n = 10$: $10^{10}$ contro $1024$), ma da $n = 59$ in poi vince per sempre $2^n$. La gerarchia parla del comportamento definitivo.
• Nella forma $\frac00$ raccogliere l'infinitesimo che va a zero più in fretta: bisogna raccogliere quello che va a zero più lentamente (il "più grande").