Lezione 16Asintoticità, o-piccolo, criteri del rapporto e della radice

Data: venerdì 24 ottobre 2025 · Capitolo 3: Limiti e continuità (successioni) · Videolezione: n. 18 della playlist ("Lezione 16", 1h37)

Argomenti trattati

1. Asintoticità e o-piccolo per le successioni: $a_n = o(b_n)$, stesso ordine, $a_n \sim b_n$, successioni non confrontabili; proprietà (simmetrica, transitiva, sostituzione nei prodotti e nei quozienti); $a_n \sim b_n \iff a_n = b_n + o(b_n)$; esercizio 11 della lezione 15 rivisto.
2. Criterio del rapporto (con dimostrazione del caso $\ell < 1$), il limite notevole $\sqrt[n]{a_n}$ e $\frac{a_{n+1}}{a_n}$, criterio della radice $n$-esima.
3. Esercizi del foglio: dimostrazione della gerarchia degli infiniti con il criterio del rapporto (esercizio 12); limiti con logaritmi, radici, esponenziali e arcotangente (esercizi 13-15); le potenze conservano l'asintoticità, le funzioni in generale no.

Teoria

• Asintoticità e o-piccoloa_n ~ b_n se il loro rapporto tende a 1, a_n = o(b_n) se tende a 0; nei prodotti e quozienti ogni fattore si può sostituire con uno asintotico.Asintoticità e o-piccolo →
• Criteri del rapporto e della radice per successioniPer a_n > 0: se a_(n+1)/a_n oppure la radice n-esima di a_n tende a un limite minore di 1 la successione tende a 0, se maggiore di 1 tende a +∞; con limite 1 non si conclude.Criteri del rapporto e della radice per successioni →
• Limiti notevoli e gerarchia degli infinitiI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali e la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti → — la gerarchia che qui si dimostra

Esercizi

• Esercizio 42 · dimostrazione della gerarchia degli infiniti — esercizio 12
• Esercizio 43 · limite con logaritmi, radici ed esponenziali — esercizio 13
• Esercizio 44 · limiti con l'arcotangente e prodotti di radici — esercizi 14 e 15
• Esercizio 41 · esponenziali, gerarchia degli infiniti e forma 0/0 — l'esercizio 11 rivisto con l'asintoticità

Lezione precedente: Lezione 15 · Infiniti di ordine superiore, numero e e gerarchia