Esercizio 30la successione (-1)ⁿ non ha limite

Testo (Lezione 12, esercizio 3). Dimostrare che $\nexists \lim_n (-1)^n$ (cioè che la successione $(-1)^n$ è irregolare).

Passo 0: l'idea

I termini sono $1, -1, 1, -1, \dots$: saltano sempre tra due valori e non si avvicinano a nessun numero. Per dimostrarlo si usa il criterio di non esistenza del limiteSe due sottosuccessioni hanno limiti diversi, il limite della successione non esiste.Sottosuccessioni →: basta trovare due sottosuccessioni con limiti diversi.

Le scelte naturali sono i termini con indice pari e quelli con indice dispari, perché $(-1)^n$ dipende solo dalla parità di $n$.

Passo 1: sottosuccessione dei pari

Per $n = 2k$ pari, $(-1)^{2k} = \left((-1)^2\right)^k = 1^k = 1$. La sottosuccessione dei pari$b_k = a_{2k}$: si prendono solo i termini con indice pari, nell'ordine.Sottosuccessioni → è quindi costante:

$$b_k = 1 \quad \forall k \qquad \Longrightarrow \qquad \lim_k b_k = \lim_k 1 = 1$$

Perché il limite di una costante è la costante (la prof lo lascia da verificare). Sia $c_n = c$ per ogni $n$. Fissato $\varepsilon > 0$, si ha $|c_n - c| = |c - c| = 0 < \varepsilon$ per ogni $n$: la definizione di limitePer ogni $\varepsilon > 0$ esiste $N$ tale che $\lvert a_n - \ell \rvert < \varepsilon$ per tutti gli $n > N$.Limiti di successioni → è soddisfatta con qualunque $N$ (per esempio $N = 0$). Quindi $\lim_n c = c$.

Passo 2: sottosuccessione dei dispari

Per $n = 2k + 1$ dispari, $(-1)^{2k+1} = (-1)^{2k} \cdot (-1) = 1 \cdot (-1) = -1$. Quindi

$$b'_k = -1 \quad \forall k \qquad \Longrightarrow \qquad \lim_k b'_k = -1$$

Passo 3: conclusione

Le due sottosuccessioni hanno limiti diversi ($1 \ne -1$). Se esistesse $\lim_n (-1)^n = \ell$, tutte le sottosuccessioni avrebbero limite $\ell$Proprietà delle sottosuccessioni: se la successione ha limite, ogni sua sottosuccessione ha lo stesso limite.Sottosuccessioni →, e quindi per l'unicità del limiteUna successione non può avere due limiti diversi.Limiti di successioni → dovrebbe essere $1 = \ell = -1$: assurdo. Quindi

$$\nexists \lim_n (-1)^n$$

Osservazioni

• La successione è limitata ($|(-1)^n| = 1$) ma non convergente: "limitata" non basta per avere un limite (vedi Successioni limitate e monotoneOgni successione convergente è limitata (non viceversa); ogni successione monotona ha limite, uguale al sup se crescente e all'inf se decrescente.Successioni limitate e monotone →).
• Lo stesso metodo funziona per molte successioni "oscillanti": si cercano due sottosuccessioni che vanno in posti diversi.

Errori comuni

• Dire "il limite vale $1$ e $-1$": un limite, se esiste, è unico.
• Concludere che il limite non esiste perché "i termini oscillano" senza un argomento: serve il criterio delle sottosuccessioni (o la definizione).