Esercizio 36limite con cos n, carabinieri e infinitesima per limitata

Testo (Lezione 14, esercizio 2). Calcolare

$$\lim_n \frac{\sqrt3\,n - 6\cos n}{3n}$$

Passo 0: dov'è la difficoltà

La successione $\cos n$ è irregolare: $\nexists \lim_n \cos n$. Mentre $n$ cresce, il punto $n$ (in radianti) gira sulla circonferenza goniometrica senza mai ripetersi con regolarità, e $\cos n$ continua a oscillare tra $-1$ e $1$. (Vale per tutte le funzioni periodiche e non costantiUna funzione che si ripete uguale dopo ogni periodo T; se non è costante, i suoi valori in n = 1, 2, 3, ... continuano a oscillare.Funzioni periodiche →: $\lim_n f(n)$ non esiste.)

Quindi il Teorema 1 sull'algebra dei limitiSomma, prodotto e quoziente di successioni convergenti convergono alla somma, al prodotto e al quoziente dei limiti.Calcolo dei limiti di successioni → non si può applicare al pezzo $\cos n$. Però $\cos n$ è limitata ($-1 \le \cos n \le 1$), e la prof mostra due modi per sfruttarlo.

Passo 1: spezzare la frazione

Dividendo ciascun addendo del numeratore per $3n$:

$$\frac{\sqrt3\,n - 6\cos n}{3n} = \frac{\sqrt3\,n}{3n} - \frac{6\cos n}{3n} = \frac{\sqrt3}{3} - \frac{2}{n}\cos n$$

Metodo 1: il teorema dei carabinieri

Le due stime. Da $-1 \le \cos n \le 1$ si ricava, moltiplicando per $-1$ (il verso si inverte), $-1 \le -\cos n \le 1$. Moltiplicando per $\frac2n > 0$ (il verso resta):

$$-\frac2n \le -\frac2n\cos n \le \frac2n$$

Sommando $\frac{\sqrt3}{3}$ a tutti i membri:

$$\underbrace{\frac{\sqrt3}{3} - \frac2n}_{a_n} \le \frac{\sqrt3\,n - 6\cos n}{3n} \le \underbrace{\frac{\sqrt3}{3} + \frac2n}_{b_n}$$

I due carabinieri. $a_n \to \frac{\sqrt3}{3} - 0 = \frac{\sqrt3}{3}$ e $b_n \to \frac{\sqrt3}{3} + 0 = \frac{\sqrt3}{3}$ (Teorema 1, perché $\frac2n \to 0$). Hanno lo stesso limite.

Conclusione. Per il Teorema 4 dei carabinieriSe a_n ≤ c_n ≤ b_n definitivamente e a_n, b_n hanno lo stesso limite finito, allora anche c_n ha quel limite.Calcolo dei limiti di successioni →, anche la successione in mezzo ha limite $\frac{\sqrt3}{3}$:

$$\lim_n \frac{\sqrt3\,n - 6\cos n}{3n} = \frac{\sqrt3}{3}$$

Metodo 2: infinitesima per limitata (più rapido)

Nella forma del passo 1, $\frac{\sqrt3}{3} - \frac1n \cdot 2\cos n$:

• $\frac1n \to 0$: è infinitesima;
• $2\cos n$ è limitata: $|2\cos n| = 2|\cos n| \le 2 \cdot 1 = 2$.

Per il Teorema 5Infinitesima per limitata: se a_n tende a 0 e b_n è limitata, il prodotto tende a 0.Calcolo dei limiti di successioni →, $\frac1n \cdot 2\cos n \to 0$. Allora, per il Teorema 1 (differenza di due successioni convergenti):

$$\lim_n \left(\frac{\sqrt3}{3} - \frac1n \cdot 2\cos n\right) = \frac{\sqrt3}{3} - 0 = \frac{\sqrt3}{3}$$

Perché è più rapido. Il Teorema 5 è proprio il Teorema dei carabinieri "già fatto una volta per tutte" per questo tipo di prodotto: non serve scrivere le due stime ogni volta.

Verifica numerica

$\frac{\sqrt3}{3} \approx 0{,}57735$. Con $n = 1000$ il quoziente vale circa $0{,}57623$, con $n = 10^5$ circa $0{,}577370$, con $n = 10^7$ circa $0{,}5773505$ ✓.

Errori comuni

• Scrivere $\lim \cos n =$ qualcosa (per esempio $1$ o $0$): non esiste.
• Concludere che il limite non esiste perché $\cos n$ non ha limite: il pezzo irregolare è moltiplicato per $\frac1n \to 0$ e viene "schiacciato".
• Sbagliare il verso delle disuguaglianze quando si moltiplica per $-1$ (si inverte) o per $\frac2n$ (resta, perché è positivo).