Esercizio 37algebra degli infiniti e forme indeterminate

Testo (Lezione 14, esercizio 4). Calcolare

1. $\displaystyle\lim_n \left(6n^2 + 2n - \frac3n + 4\right)$
2. $\displaystyle\lim_n \left(8n^2 + 2n - 5\sin(n^3)\right)$
3. $\displaystyle\lim_n n^2\left(6 - \frac{\sqrt3}{n} + 8n\right)$
4. $\displaystyle\lim_n n^2\left(2 - \cos n\right)$

e poi capire perché alcuni limiti simili sono forme indeterminate.

Lo strumento: il Teorema 6 (algebra parziale degli infiniti)

Il Teorema 6Se a_n tende a +∞: la somma con una b_n definitivamente ≥ M tende a +∞; il prodotto con una b_n definitivamente ≥ M > 0 tende a +∞ (con una ≤ M < 0 tende a −∞).Calcolo dei limiti di successioni → dice, per $\lim_n a_n = +\infty$:

• (A1) somma: $a_n + b_n \to +\infty$ se $b_n \ge M$ definitivamente, per un qualche numero fisso $M$ (anche negativo);
• (A2) prodotto: $a_n \cdot b_n \to +\infty$ se $b_n \ge M > 0$ definitivamente (resta lontana da zero, dalla parte positiva).

Nei casi in cui $b_n$ ha un limite, si usano le regole abbreviate: $+\infty + b = +\infty$, $+\infty + \infty = +\infty$, $+\infty \cdot b = +\infty$ se $b > 0$, $(+\infty)(+\infty) = +\infty$.

1. $\lim_n \left(6n^2 + 2n - \frac3n + 4\right)$

Pezzo per pezzo:

• $6n^2 \to +\infty$ e $2n \to +\infty$ (potenze di $n$ con esponente positivo, moltiplicate per costanti positive);
• $-\frac3n \to 0$;
• $4 \to 4$.

Quindi, con le regole abbreviate:

$$+\infty + \infty - 0 + 4 = +\infty$$

Perché non è una forma indeterminata: tutti i pezzi che divergono vanno nella stessa direzione ($+\infty$), e gli altri hanno limite finito.

2. $\lim_n \left(8n^2 + 2n - 5\sin(n^3)\right)$

• $8n^2 + 2n \to +\infty + \infty = +\infty$.
• $b_n = -5\sin(n^3)$ è irregolare (non ha limite: il seno continua a oscillare). Le regole abbreviate non bastano.

Ma $b_n$ è inferiormente limitata. Da $\sin(n^3) \le 1$, moltiplicando per $-5$ (il verso si inverte):

$$-5\sin(n^3) \ge -5 = M$$

Quindi si applica il punto (A1) del Teorema 6 con $M = -5$:

$$\lim_n \left(8n^2 + 2n - 5\sin(n^3)\right) = +\infty$$

Intuizione: al massimo si toglie $5$ a una quantità che cresce senza limite; togliere $5$ non può impedirle di superare qualunque soglia.

3. $\lim_n n^2\left(6 - \frac{\sqrt3}{n} + 8n\right)$

• $n^2 \to +\infty$.
• La parentesi: $6 - \frac{\sqrt3}{n} \to 6$ e $8n \to +\infty$, quindi la parentesi tende a $6 + \infty = +\infty$.

Prodotto di due successioni che tendono a $+\infty$:

$$(+\infty)(+\infty) = +\infty$$

4. $\lim_n n^2\left(2 - \cos n\right)$

• $n^2 \to +\infty$.
• $b_n = 2 - \cos n$ è irregolare (perché $\cos n$ non ha limite).

Ma $b_n$ resta lontana da zero, dalla parte positiva. Da $\cos n \le 1$ segue $-\cos n \ge -1$ e quindi

$$b_n = 2 - \cos n \ge 2 - 1 = 1 = M > 0$$

Si applica il punto (A2) del Teorema 6 con $M = 1$:

$$\lim_n n^2(2 - \cos n) = +\infty$$

Intuizione: $n^2$ viene moltiplicato per un numero che è sempre almeno $1$: il prodotto è sempre almeno $n^2$, che va a $+\infty$. (Questo è anche il Teorema 8 del confronto per le divergentiSe a_n ≤ b_n definitivamente e a_n tende a +∞, allora anche b_n tende a +∞.Calcolo dei limiti di successioni →, visto nella lezione 15.)

Dove il Teorema 6 non funziona: forme indeterminate

Ecco gli esempi che la prof dà di limiti che con questi strumenti non sappiamo ancora fare. Per ciascuno, il punto è capire quale ipotesi manca.

Che cosa vuol dire "indeterminata". Non che il limite non esiste, ma che dipende da come sono fatti i pezzi. Per esempio i primi due della tabella:

• $n - \sqrt[3]{n^3 + 6n + 1}$: numericamente, con $n = 10, 100, 1000$ vale circa $-0{,}199$, $-0{,}020$, $-0{,}002$: sembra tendere a $0$;
• $n \sin\frac1n$: con $n = 10, 100, 1000$ vale circa $0{,}998$, $0{,}99998$, $0{,}9999998$: sembra tendere a $1$.

Due forme "$\infty - \infty$" e "$\infty \cdot 0$" con risultati completamente diversi da quelli che si potrebbero indovinare. Servono strumenti nuovi (limiti notevoli, gerarchia degli infiniti, asintoticità), che arrivano nelle lezioni successive.

Errori comuni

• Dire che $+\infty - 5\sin(n^3)$ è indeterminata perché il seno non ha limite: basta che sia limitato dal basso.
• Usare (A2) con un fattore che si avvicina a zero (come $\frac1n$) o che cambia segno (come $\frac12 - \cos n$).
• Scrivere "$\infty - \infty = 0$" o "$\infty \cdot 0 = 0$": sono forme indeterminate, il risultato può essere qualunque cosa.