Esercizio 105limite con radici al variare di α

Testo (Lezione 32, esercizio 5 del foglio). Per ogni valore di $\alpha > 0$, calcolare il limite

$$\lim_{x \to +\infty} \left(x^\alpha - 5\sin x\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x + 4} - \sqrt[6]{x^2 - 1}\right)$$

Strategia

È un prodotto di due fattori, $F_1 = x^\alpha - 5\sin x$ e $F_2 = \sqrt[3]{x+4} - \sqrt[6]{x^2-1}$. L'idea è trovare per ciascuno una funzione asintotica$g \sim h$ per $x \to +\infty$ se $g(x)/h(x) \to 1$. In un prodotto si può sostituire ogni fattore con uno asintotico senza cambiare il limite. semplice (una potenza di $x$), e poi moltiplicare.

Fattore $F_1 = x^\alpha - 5\sin x$

Poiché $\alpha > 0$, $x^\alpha \to +\infty$. Il termine $5\sin x$ invece resta limitato (tra $-5$ e $5$). Quindi $5 \sin x$ è trascurabile rispetto a $x^\alpha$:

$$\frac{F_1}{x^\alpha} = 1 - \frac{5\sin x}{x^\alpha} \to 1 - 0 = 1$$

perché $\frac{5\sin x}{x^\alpha}$ è (limitata) $\cdot$ (infinitesima) $\to 0$. Quindi $F_1 = x^\alpha + o(x^\alpha)$, cioè $F_1 \sim x^\alpha$.

Fattore $F_2 = \sqrt[3]{x + 4} - \sqrt[6]{x^2 - 1}$

Perché serve uno sviluppo

Ciascuna radice da sola è facile: $\sqrt[3]{x+4} \sim \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ e $\sqrt[6]{x^2 - 1} \sim \sqrt[6]{x^2} = x^{2/6} = x^{1/3}$ (per $x > 0$). Le due radici sono asintotiche alla stessa cosa, quindi la differenza è una forma $\infty - \infty$ e gli asintotici da soli non bastano (la differenza di due funzioni asintotiche non è asintotica alla differenza). Serve uno sviluppo che veda il termine successivo.

Il trucco: raccogliere la potenza dominante sotto radice

Si raccoglie sotto ogni radice il termine di ordine più alto, lo si porta fuori, e dentro resta $(1 + y)^\beta$ con $y \to 0$, che si sviluppa con $(1+y)^\beta = 1 + \beta y + \frac{\beta(\beta-1)}{2}y^2 + \dots$ (vedi Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli →):

$$F_2 = \sqrt[3]{x\left(1 + \tfrac4x\right)} - \sqrt[6]{x^2\left(1 - \tfrac1{x^2}\right)} = x^{1/3}\left(1 + \tfrac4x\right)^{1/3} - x^{1/3}\left(1 - \tfrac1{x^2}\right)^{1/6}$$

$$= x^{1/3}\left[\left(1 + \tfrac4x\right)^{1/3} - \left(1 - \tfrac1{x^2}\right)^{1/6}\right]$$

Ora $y = \frac4x \to 0$ e $y = -\frac{1}{x^2} \to 0$ per $x \to +\infty$ ✓.

Gli sviluppi

• $\left(1 + \frac4x\right)^{1/3} = 1 + \frac13 \cdot \frac4x + o\!\left(\frac1x\right) = 1 + \frac43 \cdot \frac1x + o\!\left(\frac1x\right)$;
• $\left(1 - \frac1{x^2}\right)^{1/6} = 1 + \frac16 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) + o\!\left(\frac1{x^2}\right) = 1 - \frac16 \cdot \frac1{x^2} + o\!\left(\frac1{x^2}\right)$.

(Gli o piccoli qui sono per $x \to +\infty$: $o\left(\frac1x\right)$ indica qualcosa che, diviso per $\frac1x$, tende a $0$.)

La differenza

$$F_2 = x^{1/3}\left[1 + \frac43 \cdot \frac1x + o\!\left(\tfrac1x\right) - 1 + \frac16 \cdot \frac1{x^2} + o\!\left(\tfrac1{x^2}\right)\right]$$

Gli $1$ si cancellano. Dei termini rimasti, quello più grande per $x \to +\infty$ è $\frac43 \cdot \frac1x$: infatti $\frac1{x^2} = o\left(\frac1x\right)$ (perché $\frac{1/x^2}{1/x} = \frac1x \to 0$, per la gerarchia degli infinitiPer $x \to +\infty$, una potenza più alta va all'infinito più in fretta: $1/x^2$ va a zero più in fretta di $1/x$.). Quindi tutto il resto si assorbe in $o\left(\frac1x\right)$:

$$F_2 = x^{1/3}\left(\frac43 \cdot \frac1x + o\!\left(\tfrac1x\right)\right) = \frac43 \cdot \frac{1}{x^{2/3}} + o\!\left(\frac{1}{x^{2/3}}\right) \sim \frac43 \cdot \frac{1}{x^{2/3}}$$

(Il conto delle potenze: $x^{1/3} \cdot x^{-1} = x^{1/3 - 1} = x^{-2/3}$.)

Il limite

Sostituendo i due fattori con i loro asintotici:

$$L = \lim_{x \to +\infty} F_1 \cdot F_2 = \lim_{x \to +\infty} x^\alpha \cdot \frac43 \cdot \frac{1}{x^{2/3}} = \lim_{x \to +\infty} \frac43\, x^{\alpha - \frac23}$$

Il risultato dipende dal segno dell'esponente $\alpha - \frac23$:

Verifica numerica (Python, precisione alta): con $\alpha = \frac23$ e $x = 10^9$ il prodotto vale $1{,}33333$; con $\alpha = \frac12$ va verso $0$ ($0{,}04$ per $x = 10^9$); con $\alpha = 1$ cresce ($1333$ per $x = 10^9$) ✓.

Errori comuni

• Sostituire ciascuna radice con il suo asintotico dentro la differenza: $\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{x^2} = 0$, che darebbe un risultato falso. Gli asintotici si usano nei prodotti e nei quozienti, non nelle somme/differenze con cancellazione.
• Dimenticare che $\sin x$ non ha limite: non si può scrivere "$5\sin x \to$ qualcosa", ma basta che sia limitato.
• Sviluppare $(1+y)^\beta$ senza raccogliere: la formula vale solo con $y \to 0$; $\left(x + 4\right)^{1/3}$ non è della forma $(1 + \text{piccolo})^{1/3}$ finché non si raccoglie $x$.