Lezione 14Teoremi di calcolo dei limiti di successioni

Data: mercoledì 22 ottobre 2025 · Capitolo 3: Limiti e continuità (successioni) · Videolezione: n. 16 della playlist ("Lezione 14", 1h33)

Argomenti trattati

1. Teorema 1 (algebra dei limiti): dimostrazione del limite del prodotto; come si usa raccogliendo il termine "più grande".
2. Teoremi 2 e 3 (permanenza del segno, prima e seconda forma): il segno del limite passa ai termini e viceversa; le disuguaglianze strette non passano al limite.
3. Teorema 4 (confronto o dei due carabinieri) e Teorema 5 (infinitesima per limitata): per calcolare limiti con pezzi irregolari ma limitati come $\cos n$.
4. Teorema 6 (algebra parziale degli infiniti): somme e prodotti con successioni divergenti, anche con l'altro pezzo irregolare.
5. Forme indeterminate $+\infty - \infty$, $\pm\infty \cdot 0$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac00$; Teorema 7 (del reciproco).
6. Artifici e limiti notevoli (inizio): limite delle successioni potenza $n^\alpha$.

Teoria

• Calcolo dei limiti di successioniGli strumenti per calcolare i limiti senza la definizione: algebra dei limiti, permanenza del segno, carabinieri, infinitesima per limitata, algebra degli infiniti, reciproco, confronto per le divergenti e forme indeterminate.Calcolo dei limiti di successioni → — Teoremi 1-7 e forme indeterminate
• Limiti notevoli e gerarchia degli infinitiI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali e la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti → — potenze $n^\alpha$

Esercizi

• Esercizio 35 · limiti di quozienti raccogliendo il termine dominante — esercizi 1 e 3
• Esercizio 36 · limite con cos n, carabinieri e infinitesima per limitata — esercizio 2
• Esercizio 37 · algebra degli infiniti e forme indeterminate — esercizio 4 ed esempi di forme indeterminate

Lezione precedente: Lezione 13 · Funzioni periodiche, successioni limitate e monotone · Lezione successiva: Lezione 15 · Infiniti di ordine superiore, numero e e gerarchia