Lezione 34Confronto asintotico, criteri del rapporto e della radice

Data: mercoledì 26 novembre 2025 · Capitolo 5: Serie numeriche (par. 1.2, fine delle serie a termini non negativi) · Videolezione: n. 35 della playlist ("Lezione 34", 1h41)

Argomenti trattati

1. Corollario del confronto asintotico con le serie armoniche generalizzate e la geometrica, più i due criteri con $\lim n^\alpha a_n$; come trattare le serie a termini $\le 0$; le serie che oscillano di segno restano escluse; significato geometrico (area sotto $y = \frac{1}{x^\alpha}$).
2. Esercizi I: esercizi 3 e 4 del foglio (un fattore senza limite: maggiorare per la convergenza, minorare per la divergenza), esercizio 5 (parametro, sviluppi di $\sinh$ e $\sin$).
3. Criterio del rapporto (con dimostrazione, per confronto con la geometrica) e criterio della radice $n$-esima; con $L = 1$ non si conclude.
4. Esercizi II: $\sum \frac{a^n}{n!}$ e $\sum a^n \frac{n!}{n^n}$ con il rapporto; esercizi 6 e 7 del foglio.

Teoria

• Serie a termini non negativi e criteri del confrontoUna serie a termini >= 0 converge o diverge a +infinito, mai irregolare. Criterio del confronto (0 <= a_k <= b_k), del confronto asintotico (a_k ~ L b_k) e suo corollario con le serie notevoli: si studia una serie paragonandola a 1/n^alpha o a q^n.Serie a termini non negativi e criteri del confronto → — corollario, serie negative, significato geometrico
• Criteri del rapporto e della radice per le seriePer una serie a termini positivi, se il limite di a_(n+1)/a_n (criterio del rapporto) o di radice n-esima di a_n (criterio della radice) è L < 1 la serie converge, se è L > 1 diverge; con L = 1 il criterio non dice nulla.Criteri del rapporto e della radice per le serie →

Esercizi

• Esercizio 110 · serie con il modulo del coseno al numeratore — esercizio 3 del foglio
• Esercizio 111 · serie con π meno sin n al numeratore — esercizio 4
• Esercizio 112 · serie con sinh e sin al variare di a — esercizio 5
• Esercizio 113 · serie con aⁿ, n! e nⁿ — esempio classico del criterio del rapporto
• Esercizio 114 · n^-log n) e (n!)^-1/n) con il confronto — esercizio 6
• Esercizio 115 · serie con sviluppi di Taylor al numeratore — esercizio 7

Lezione precedente: Lezione 33 · Serie notevoli e criteri del confronto