Esercizio 115serie con sviluppi di Taylor al numeratore

Testo (Lezione 34, esercizio 7 del foglio). Discutere il carattere della serie

$$\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{e^{-\frac1n} - 1 + \log\left(1 + \frac1n\right)}{n^2\log(n+1) - n^2\log(n-1) + \frac{1}{n!}}$$

Strategia

Si cerca un asintotico semplice di numeratore e denominatore separatamente, e si usa il confronto asintoticoSe $a_n \sim L \cdot \frac{1}{n^\alpha}$ con $L \neq 0$, la serie converge se e solo se $\alpha > 1$.Serie a termini non negativi e criteri del confronto → con una serie armonica generalizzata. Il segno di $a_n$ non serve studiarlo prima: sarà definitivamente quello dell'asintotico.

Numeratore: serve Taylor

Con $y = \frac1n \to 0$ il numeratore è $e^{-y} - 1 + \log(1 + y)$. Al primo ordine $e^{-y} - 1 \sim -y$ e $\log(1+y) \sim y$: si cancellano. Bisogna andare avanti negli sviluppi di Mac-Laurin$e^t = 1 + t + \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{6} + o(t^3)$ e $\log(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + o(t^3)$ per $t \to 0$.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli → finché qualcosa sopravvive. Fino al terzo ordine:

• $e^{-y} - 1 = \left(1 - y + \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{6} + o(y^3)\right) - 1 = -y + \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{6} + o(y^3)$ (si mette $-y$ al posto di $t$: le potenze dispari cambiano segno);
• $\log(1 + y) = y - \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} + o(y^3)$.

Sommando: $-y + y = 0$, $\frac{y^2}{2} - \frac{y^2}{2} = 0$, e restano i cubi: $-\frac16 + \frac13 = \frac{-1 + 2}{6} = \frac16$.

$$\text{NUM} = \frac16 \cdot \frac{1}{n^3} + o\!\left(\frac{1}{n^3}\right) \sim \frac16 \cdot \frac{1}{n^3}$$

Denominatore

Si raccoglie $n^2$ e si uniscono i logaritmi ($\log A - \log B = \log\frac AB$):

$$\text{DEN} = n^2\left[\log(n+1) - \log(n-1)\right] + \frac{1}{n!} = n^2 \log\frac{n+1}{n-1} + \frac{1}{n!}$$

Il logaritmo. L'argomento tende a $1$; per usare $\log(1 + t) \sim t$ con $t \to 0$ si aggiunge e si toglie $1$:

$$\log\frac{n+1}{n-1} = \log\left(1 + \frac{n+1}{n-1} - 1\right) = \log\left(1 + \frac{n + 1 - (n - 1)}{n-1}\right) = \log\left(1 + \frac{2}{n-1}\right)$$

Con $t = \frac{2}{n-1} \to 0$: $\log\left(1 + \frac{2}{n-1}\right) \sim \frac{2}{n-1} \sim \frac2n$, cioè $\log\frac{n+1}{n-1} = \frac2n + o\left(\frac1n\right)$.

Mettendo insieme:

$$\text{DEN} = n^2\left[\frac2n + o\!\left(\frac1n\right)\right] + \frac{1}{n!} = 2n + o(n) + \frac{1}{n!} \sim 2n$$

Il termine $\frac{1}{n!}$ tende a $0$, quindi è certamente $o(n)$ (anzi è trascurabile rispetto a qualunque cosa che non tende a zero).

Conclusione

$$a_n = \frac{\text{NUM}}{\text{DEN}} \sim \frac{\frac16 \cdot \frac{1}{n^3}}{2n} = \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{n^4}$$

L'asintotico è positivo, quindi $a_n > 0$ definitivamente, e la serie armonica generalizzata$\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge se e solo se $\alpha > 1$.Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → con $\alpha = 4 > 1$ converge. Per il confronto asintotico:

$$\text{la serie converge.}$$

Verifica numerica (Python): per $n = 10^5$, $12\,n^4\,a_n \approx 0{,}99999$ ✓.

Errori comuni

• Sviluppare il numeratore solo al primo ordine: si ottiene $0 + o\left(\frac1n\right)$, che non dice nulla.
• Sbagliare i segni di $e^{-y}$: si sostituisce $t = -y$ in tutto lo sviluppo, $\frac{(-y)^3}{6} = -\frac{y^3}{6}$.
• Pensare che $\frac{1}{n!}$ conti al denominatore: tende a zero mentre il resto va all'infinito.