Sottosuccessioni

Lezione 12 (con i "complementi" in fondo al PDF). Prerequisito: Limiti di successioniUna successione ha limite l se, da un certo indice in poi, i suoi termini stanno vicini a l quanto si vuole; definizioni con epsilon, limiti infiniti e unicità.Limiti di successioni →. Servono soprattutto a dimostrare che un limite non esiste: Esercizio 30 · la successione (-1)ⁿ non ha limite.

Definizione

Data $(a_n)_{n \ge n_0}$ (per semplicità $n_0 = 0$):

1. sottosuccessione dei pari: $b_k = a_{2k}$, $k \in \mathbb{N}$, cioè $b_0 = a_0$, $b_1 = a_2$, $b_2 = a_4$, …;
2. sottosuccessione dei dispari: $b'_k = a_{2k+1}$, $k \in \mathbb{N}$, cioè $b'_0 = a_1$, $b'_1 = a_3$, $b'_2 = a_5$, …;
3. in generale: data una funzione strettamente crescente degli indici $k \mapsto n_k$, da $\mathbb{N}$ in $\mathbb{N}$, la successione $c_k = a_{n_k}$, $k \in \mathbb{N}$, si chiama sottosuccessione di $(a_n)$.

In parole: si prendono infiniti termini della successione, nell'ordine in cui compaiono, saltandone eventualmente qualcuno.

Esempio. $c_k = a_{3k + 2}$: gli indici $3k + 2 = 2, 5, 8, 11, \dots$ formano una successione strettamente crescente, quindi è una sottosuccessione ($c_0 = a_2$, $c_1 = a_5$, $c_2 = a_8$, …).

Non-esempio. $c_0 = a_0$, $c_1 = a_3$, $c_2 = a_1$, $c_3 = a_6$, …: non è una sottosuccessione, perché gli indici $0, 3, 1, 6$ non sono crescenti (si torna indietro da $a_3$ ad $a_1$).

Proprietà

1. Se $\lim_n a_n = \ell$ ($\ell \in \mathbb{R}$ oppure $\pm\infty$), allora tutte le sottosuccessioni hanno lo stesso limite $\ell$.
2. Se la sottosuccessione dei pari e quella dei dispari hanno lo stesso limite $\ell$, allora anche la successione ha limite $\ell$.

La 1, insieme al teorema di unicità del limiteUna successione ha limite l se, da un certo indice in poi, i suoi termini stanno vicini a l quanto si vuole; definizioni con epsilon, limiti infiniti e unicità.Limiti di successioni →, dà subito:

Criterio di non esistenza del limite. Se due sottosuccessioni di $(a_n)$ hanno limiti diversi, allora $\lim_n a_n$ non esiste.

Perché: se il limite esistesse, per la proprietà 1 tutte le sottosuccessioni avrebbero quel limite, e quindi lo stesso limite tra loro.

Esempio. $a_n = (-1)^n$: sui pari vale sempre $1$ (limite $1$), sui dispari vale sempre $-1$ (limite $-1$). Limiti diversi: $\nexists \lim_n (-1)^n$. Vedi l'Esercizio 30 · la successione (-1)ⁿ non ha limite.

Dimostrazioni (complementi, per curiosità)

Proprietà 1 (per $\ell \in \mathbb{R}$). Per ipotesi: $\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N}$ con $|a_n - \ell| < \varepsilon$ per ogni $n > N$. Sia $b_k = a_{n_k}$ una sottosuccessione.

Osservazione: se $k \mapsto n_k$ è strettamente crescente a valori in $\mathbb{N}$, allora $n_k \ge k$ per ogni $k$. Si dimostra per induzionePer dimostrare una proprietà per ogni n basta il passo base e il passo induttivo da n a n+1.Principio di induzione →: $n_0 \ge 0$ è vero (è un naturale); se $n_k \ge k$, allora, essendo $n_{k+1} > n_k$ tra naturali, $n_{k+1} \ge n_k + 1 \ge k + 1$.

Allora, fissato $\varepsilon$ e preso lo stesso $N$ di prima, per ogni $k > N$ si ha $n_k \ge k > N$, quindi $|a_{n_k} - \ell| < \varepsilon$. Cioè $\lim_k a_{n_k} = \ell$ ∎.

Proprietà 2 (per $\ell \in \mathbb{R}$). Dire che $\lim_k a_{2k} = \ell$ significa: $\forall \varepsilon > 0 \ \exists N_1$ con $|a_n - \ell| < \varepsilon$ per ogni $n > N_1$ pari. Analogamente esiste $N_2$ con $|a_n - \ell| < \varepsilon$ per ogni $n > N_2$ dispari. Allora per ogni $n > \max\{N_1, N_2\}$, pari o dispari che sia, $|a_n - \ell| < \varepsilon$: è la definizione di $\lim_n a_n = \ell$ ∎.

Errori comuni

• Pensare che basti trovare una sottosuccessione convergente per dire che la successione converge: falso ($(-1)^n$ ha la sottosuccessione dei pari che converge a $1$, ma non ha limite).
• Prendere indici non crescenti.
• Usare la proprietà 2 con due sottosuccessioni qualsiasi: funziona con pari e dispari perché insieme coprono tutti gli indici.