Esercizio 39limiti con un parametro e con esponenti reali

Testo (Lezione 15, esercizi 7 e 7 "bis"). Calcolare

1. $\displaystyle\lim_n \frac{(a+1)n^4 - 3an + 4}{\sqrt2\,n^2 - 18n + \arctan^5 n}$ al variare di $a \in \mathbb{R}$;
2. $\displaystyle\lim_n \frac{\sqrt[4]{n} - 6\sqrt[5]{n^2} + 3\cos^4 n}{n^{1/\pi} - 6n^{1/18}}$.

($\arctan^5 n$ vuol dire $(\arctan n)^5$; la prof scrive $\mathrm{arctg}$.)

1. Il limite con il parametro $a$

Perché bisogna distinguere dei casi

Il termine "più grande" del numeratore dovrebbe essere $(a+1)n^4$. Ma se $a + 1 = 0$ quel termine sparisce (vale $0 \cdot n^4 = 0$) e il termine più grande diventa un altro. Quindi si separano due casi: $a \ne -1$ e $a = -1$.

Il denominatore (uguale in tutti i casi)

L'infinito di ordine superiore è $\sqrt2\,n^2$. Il pezzo $\arctan^5 n$ è limitato: l'arcotangenteFunzione definita su tutto ℝ con valori tra −π/2 e π/2; per x che cresce si avvicina a π/2.Funzioni trigonometriche e loro inverse → ha valori in $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, anzi $\arctan n \to \frac{\pi}{2}$ e quindi $\arctan^5 n \to \left(\frac{\pi}{2}\right)^5$. Raccogliendo:

$$\sqrt2\,n^2 - 18n + \arctan^5 n = \sqrt2\,n^2\left[1 - \frac{18}{\sqrt2\,n} + \frac{1}{\sqrt2\,n^2}\arctan^5 n\right]$$

e la parentesi tende a $1 - 0 + 0 = 1$ (l'ultimo pezzo è $\frac{1}{\sqrt2\,n^2} \to 0$ per una quantità che tende a $\left(\frac{\pi}{2}\right)^5$, quindi tende a $0 \cdot \left(\frac{\pi}{2}\right)^5 = 0$).

Caso $a \ne -1$

Il termine più grande al numeratore è $(a+1)n^4$:

$$\frac{(a+1)n^4\left[1 - \dfrac{3a}{(a+1)n^3} + \dfrac{4}{(a+1)n^4}\right]}{\sqrt2\,n^2\left[1 - \dfrac{18}{\sqrt2\,n} + \dfrac{\arctan^5 n}{\sqrt2\,n^2}\right]}$$

(si può dividere per $a + 1$ proprio perché $a \ne -1$). Le parentesi tendono a $1$, e resta

$$\lim_n \frac{a+1}{\sqrt2}\,n^2 = \begin{cases} +\infty & \text{se } a + 1 > 0, \text{ cioè } a > -1 \\ -\infty & \text{se } a + 1 < 0, \text{ cioè } a < -1 \end{cases}$$

Perché il segno dipende da $a$: $n^2 \to +\infty$ viene moltiplicato per la costante $\frac{a+1}{\sqrt2}$; per l'algebra degli infiniti+∞ per una costante positiva dà +∞, per una costante negativa dà −∞.Calcolo dei limiti di successioni → il risultato ha il segno di questa costante.

Caso $a = -1$

Sostituendo $a = -1$: $(a + 1)n^4 = 0$ e $-3an = -3(-1)n = 3n$. Il numeratore diventa $3n + 4$:

$$\lim_n \frac{3n + 4}{\sqrt2\,n^2 - 18n + \arctan^5 n} = \lim_n \frac{3n\left[1 + \frac{4}{3n}\right]}{\sqrt2\,n^2\left[\cdots\right]} = \lim_n \frac{3}{\sqrt2\,n} = 0$$

(la parentesi del denominatore è quella di prima, che tende a $1$). Il numeratore ha "grado" $1$, il denominatore $2$: vince il denominatore.

Risultato

Verifica numerica ($n = 1000$): con $a = 1$ il quoziente vale circa $1{,}43 \cdot 10^6$ (e $\frac{2}{\sqrt2} \cdot 10^6 \approx 1{,}41 \cdot 10^6$); con $a = -3$ circa $-1{,}43 \cdot 10^6$; con $a = -1$ circa $0{,}0022$ ✓.

2. Il limite con gli esponenti reali

Passo 1: scrivere tutto come potenze di $n$

$\sqrt[4]{n} = n^{1/4}$ e $\sqrt[5]{n^2} = n^{2/5}$. Il limite diventa

$$\lim_n \frac{n^{1/4} - 6n^{2/5} + 3\cos^4 n}{n^{1/\pi} - 6n^{1/18}}$$

Passo 2: chi è il più grande?

Tra due potenze di $n$ con esponente positivo vince quella con l'esponente maggiore (regola delle potenzeSe 0 < α₁ < α₂, allora n^α₁ / n^α₂ tende a 0: la potenza con esponente maggiore è l'infinito di ordine superiore.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →). Bisogna quindi confrontare gli esponenti, che sono frazioni e numeri irrazionali.

• Numeratore: $\frac25$ contro $\frac14$. Si ha $\frac25 > \frac14 \iff 8 > 5$ (moltiplicando per $20$): vero. Vince $-6n^{2/5}$. Il pezzo $3\cos^4 n$ è limitato ($0 \le \cos^4 n \le 1$) e quindi trascurabile rispetto a qualunque infinito.
• Denominatore: $\frac{1}{\pi}$ contro $\frac{1}{18}$. Si ha $\frac1\pi > \frac{1}{18} \iff 18 > \pi$: vero. Vince $n^{1/\pi}$.

Passo 3: raccogliere

$$\frac{-6n^{2/5}\left[1 - \dfrac{n^{1/4}}{6n^{2/5}} - \dfrac{3\cos^4 n}{6n^{2/5}}\right]}{n^{1/\pi}\left[1 - \dfrac{6n^{1/18}}{n^{1/\pi}}\right]} = \frac{-6n^{2/5}\left[1 - \dfrac{1}{6n^{2/5 - 1/4}} - \dfrac{\cos^4 n}{2n^{2/5}}\right]}{n^{1/\pi}\left[1 - \dfrac{6}{n^{1/\pi - 1/18}}\right]}$$

Ogni pezzo tra parentesi tende a $0$:

• $\frac{1}{6n^{2/5 - 1/4}} \to 0$ perché $\frac25 - \frac14 > 0$;
• $\frac{\cos^4 n}{2n^{2/5}} = \frac{1}{2n^{2/5}} \cdot \cos^4 n \to 0$ (infinitesima per limitata);
• $\frac{6}{n^{1/\pi - 1/18}} \to 0$ perché $\frac1\pi - \frac{1}{18} > 0$.

Passo 4: conclusione

$$\lim_n \frac{-6n^{2/5}}{n^{1/\pi}} = \lim_n \left(-6\,n^{2/5 - 1/\pi}\right) = -\infty$$

perché l'esponente è positivo: $\frac25 > \frac1\pi \iff 2\pi > 5$, vero ($2\pi \approx 6{,}28$). Quindi $n^{2/5 - 1/\pi} \to +\infty$, moltiplicato per $-6 < 0$ dà $-\infty$.

Un'osservazione numerica

L'esponente finale è piccolo ($\frac25 - \frac1\pi \approx 0{,}082$): il limite è $-\infty$, ma ci si arriva molto lentamente. Inoltre il denominatore $n^{1/\pi} - 6n^{1/18}$ è negativo per i primi termini e diventa positivo solo per $n \gtrsim 915$ (quando $n^{1/\pi - 1/18} > 6$). Con $n = 10^{12}$ il quoziente vale circa $-57{,}4$, con $n = 10^{20}$ circa $-258$: va davvero verso $-\infty$. Il limite riguarda solo il comportamento definitivo: i primi termini non contano.

Errori comuni

• Non distinguere il caso $a = -1$, in cui il termine "più grande" sparisce.
• Confrontare gli esponenti a occhio quando ci sono frazioni o $\pi$: va scritta la disuguaglianza e verificata ($\frac25 > \frac1\pi \iff 2\pi > 5$).
• Trascurare il segno del coefficiente raccolto ($-6$ nel secondo limite): cambia $+\infty$ in $-\infty$.