Esercizio 110serie con il modulo del coseno al numeratore

Testo (Lezione 34, esercizio 3 del foglio). La serie

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|\cos n|}{e^n + n\log n}$$

converge?

Passo 1: segno e problema

$a_n = \frac{|\cos n|}{e^n + n\log n} \ge 0$ per ogni $n \ge 1$: il numeratore è un modulo, il denominatore è positivo ($e^n > 0$ e $n \log n \ge 0$ per $n \ge 1$). Si possono quindi usare i criteri per le serie a termini non negativiConfronto: se $0 \le a_n \le b_n$ e $\sum b_n$ converge, converge anche $\sum a_n$. Confronto asintotico: se $a_n \sim L b_n$, stesso carattere.Serie a termini non negativi e criteri del confronto →.

Il problema: $|\cos n|$ non ha limite per $n \to +\infty$ (continua a oscillare tra $0$ e $1$), quindi $a_n$ non è asintotica a niente di semplice e il confronto asintotico non si può usare direttamente su $a_n$.

Passo 2: maggiorare il fattore che oscilla

Di $|\cos n|$ sappiamo però che sta tra $0$ e $1$. Sostituendolo con $1$ si ottiene una quantità più grande:

$$0 \le a_n = \frac{|\cos n|}{e^n + n\log n} \le \frac{1}{e^n + n\log n} = b_n$$

Se $\sum b_n$ converge, per il criterio del confronto converge anche $\sum a_n$.

Passo 3: studiare $\sum b_n$ con il confronto asintotico

Al denominatore, quale termine domina? Per la gerarchia degli infinitiPer $n \to +\infty$: logaritmi $\ll$ potenze $\ll$ esponenziali (con base maggiore di 1) $\ll$ fattoriale. Quindi $n \log n / e^n \to 0$. $n\log n = o(e^n)$. Per vederlo con precisione si spezza $e^n = e^{n/2} \cdot e^{n/2} = (\sqrt e)^n (\sqrt e)^n$:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{n\log n}{e^n} = \lim_{n \to +\infty} \underbrace{\frac{n}{(\sqrt e)^n}}_{\to 0} \cdot \underbrace{\frac{\log n}{(\sqrt e)^n}}_{\to 0} = 0$$

(ognuno dei due fattori è una potenza o un logaritmo diviso per un'esponenziale di base $\sqrt e > 1$). Quindi

$$e^n + n\log n = e^n + o(e^n) \sim e^n \qquad \Longrightarrow \qquad b_n \sim \frac{1}{e^n} = \left(\frac1e\right)^n$$

È l'addendo di una serie geometrica$\sum q^n$ converge se e solo se $\lvert q \rvert < 1$.Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → di ragione $q = \frac1e \approx 0{,}37 < 1$, che converge. Per il confronto asintotico (corollario, caso $a_n \sim L\,q^n$ con $q < 1$), $\sum b_n$ converge.

Conclusione

$0 \le a_n \le b_n$ e $\sum b_n$ converge, quindi per il criterio del confronto

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|\cos n|}{e^n + n\log n} \ \text{ converge.}$$

La regola generale

Quando nell'addendo c'è un fattore senza limite (come $\cos n$, $\sin n$, $(-1)^n$ dentro un modulo…) ma limitato:

Non funziona il contrario: maggiorare con una serie divergente o minorare con una convergente non dice nulla.