Esercizio 34max e min di (-1)ⁿ/n

Testo (Lezione 13, esempio). Determinare, se esistono, minimo, massimo, inf e sup di

$$E = \left\{ a_n = \frac{(-1)^n}{n} : n \in \mathbb{N}^* \right\}$$

e confrontarli con $\displaystyle\lim_n \frac{(-1)^n}{n}$.

Passo 0: capire il testo

$\mathbb{N}^*$ sono i naturali senza lo zero: $n = 1, 2, 3, \dots$ (lo zero va tolto perché $\frac{(-1)^0}{0}$ non ha senso).

Il fattore $(-1)^n$ vale $1$ se $n$ è pari e $-1$ se $n$ è dispari: fa alternare il segno dei termini.

Perché questo esempio. Nella teoria sulle Successioni limitate e monotoneOgni successione convergente è limitata (non viceversa); ogni successione monotona ha limite, uguale al sup se crescente e all'inf se decrescente.Successioni limitate e monotone → si vede che, se la successione è monotona, inf e sup di $E$ si leggono subito: uno è il primo termine e l'altro è il limite. Qui la successione non è monotona, e l'esempio mostra che allora inf e sup possono essere entrambi diversi dal limite.

Passo 1: qualche valore

I termini saltano da una parte all'altra dello $0$, avvicinandosi sempre di più a $0$.

$(a_n)$ non è monotona: $a_1 = -1 < a_2 = \frac12$ (sale) ma $a_2 = \frac12 > a_3 = -\frac13$ (scende). Non si può applicare direttamente il teorema sulle successioni monotone.

Passo 2: l'idea, separare pari e dispari

Se si guardano solo i pari o solo i dispari, il segno è fisso e i termini sono monotoni. Si scrive allora

$$E = E_P \cup E_D$$

con $E_P$ = termini di indice pari, $E_D$ = termini di indice dispari. È la stessa idea delle sottosuccessioni dei pari e dei dispariSi prendono solo i termini $a_{2k}$ oppure solo i termini $a_{2k+1}$: sono successioni a loro volta, spesso più semplici da studiare.Sottosuccessioni →.

I pari: $E_P = \left\{ \frac1n : n \ge 1, \ n \text{ pari} \right\} = \left\{ \frac12, \frac14, \frac16, \dots \right\}$

Per $n$ pari $(-1)^n = 1$, quindi $a_n = \frac1n$.

• È decrescente: se $n < m$ sono pari e positivi, $\frac1m < \frac1n$ (dividendo $1$ per un numero più grande si ottiene meno).
• Quindi il massimo è il primo termine, quello con $n = 2$: $\max E_P = \frac12$.
• L'inf è il limite: per il teorema sulle successioni monotoneUna successione decrescente ha come limite l'inf dei suoi termini; una crescente ha come limite il sup.Successioni limitate e monotone →, $\inf E_P = \lim \frac1n = 0$. Non è un minimo, perché $\frac1n > 0$ per ogni $n$: $0 \notin E_P$.

I dispari: $E_D = \left\{ -\frac1n : n \ge 1, \ n \text{ dispari} \right\} = \left\{ -1, -\frac13, -\frac15, \dots \right\}$

Per $n$ dispari $(-1)^n = -1$, quindi $a_n = -\frac1n$.

• È crescente: da $\frac1m < \frac1n$ (per $n < m$), moltiplicando per $-1$ il verso si inverte: $-\frac1m > -\frac1n$.
• Quindi il minimo è il primo termine, quello con $n = 1$: $\min E_D = -\frac11 = -1$.
• Il sup è il limite: $\sup E_D = \lim\left(-\frac1n\right) = 0$, non raggiunto ($-\frac1n < 0$ sempre).

Passo 3: rimettere insieme

Minimo di $E$. Ogni elemento di $E$ sta in $E_P$ o in $E_D$. Gli elementi di $E_P$ sono tutti $> 0$; quelli di $E_D$ sono tutti $\ge -1$. Quindi tutti gli elementi di $E$ sono $\ge -1$, e $-1 \in E$ (per $n = 1$). Il più piccolo tra i "candidati" dei due pezzi è

$$\min E = \min\{\inf E_P, \min E_D\} = \min\{0, -1\} = -1$$

Massimo di $E$. Gli elementi di $E_D$ sono tutti $< 0$; quelli di $E_P$ sono tutti $\le \frac12$. Quindi tutti gli elementi di $E$ sono $\le \frac12$, e $\frac12 \in E$ (per $n = 2$):

$$\max E = \max\{\max E_P, \sup E_D\} = \max\left\{\frac12, 0\right\} = \frac12$$

Inf e sup. Quando il minimo esiste, l'inf coincide con il minimo; lo stesso per massimo e sup (regola generaleSe un insieme ha massimo, il sup è il massimo; se ha minimo, l'inf è il minimo.Estremo superiore (sup) →):

$$\inf E = \min E = -1, \qquad \sup E = \max E = \frac12$$

Passo 4: il confronto con il limite

$$\lim_n \frac{(-1)^n}{n} = 0$$

Infatti i termini di indice pari e quelli di indice dispari tendono entrambi a $0$ (i pari da sopra, i dispari da sotto), e quindi tutta la successione tende a $0$. Più direttamente: $\left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac1n \to 0$, e una successione il cui modulo tende a $0$ tende a $0$ (vedi Calcolo dei limiti di successioniGli strumenti per calcolare i limiti senza la definizione: algebra dei limiti, permanenza del segno, carabinieri, infinitesima per limitata, algebra degli infiniti, reciproco, confronto per le divergenti e forme indeterminate.Calcolo dei limiti di successioni →).

La lezione dell'esempio. Il limite esiste ed è $0$, però $0$ non è né il minimo né il sup di $E$ (e nemmeno l'inf o il massimo): $\inf E = -1$ e $\sup E = \frac12$. Il "trucco" del teorema sulle successioni monotone (limite = inf oppure sup) vale solo per successioni monotone.

Risultato finale

Errori comuni

• Dire "il limite è $0$, quindi $\inf E = 0$": vale solo se la successione è decrescente (e allora $0$ sarebbe l'inf).
• Applicare il teorema sulle monotone a una successione a segni alterni senza prima separarla in pezzi monotoni.
• Dimenticare di confrontare i due pezzi: il massimo di $E$ è il più grande tra il massimo di $E_P$ e il sup di $E_D$.