Esercizio 38limiti di polinomi con termini irregolari

Testo (Lezione 15, esercizi 5 e 6). Calcolare

1. $\displaystyle\lim_n \left(5n^8 - 7n^5 + 2n + 12\right)$
2. $\displaystyle\lim_n \frac{2n^4 - 3n^2 + 5n\sin(n^4)}{n^2 - 6n + \pi}$

1. $\lim_n \left(5n^8 - 7n^5 + 2n + 12\right)$

Perché è una forma indeterminata

$5n^8 \to +\infty$ e $-7n^5 \to -\infty$: la somma è della forma $+\infty - \infty$, una forma indeterminataConoscere i limiti dei pezzi non basta: il risultato dipende da quanto velocemente vanno all'infinito.. Non si può concludere niente con l'algebra degli infiniti.

Raccogliere l'infinito di ordine superiore

Tra le potenze di $n$ vince quella con l'esponente più grande, $n^8$ (infinito di ordine superioreb_n è di ordine superiore rispetto ad a_n se a_n/b_n tende a 0: in una somma b_n "vince" e a_n si può trascurare.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →). Si raccoglie $5n^8$:

$$5n^8 - 7n^5 + 2n + 12 = 5n^8\left[1 - \frac{7}{5n^3} + \frac{2}{5n^7} + \frac{12}{5n^8}\right]$$

(controllo: $5n^8 \cdot \frac{7}{5n^3} = 7n^5$, $5n^8 \cdot \frac{2}{5n^7} = 2n$, $5n^8 \cdot \frac{12}{5n^8} = 12$ ✓).

Tra parentesi i tre termini con $n$ al denominatore tendono a $0$, quindi la parentesi tende a $1$. Il prodotto è $(+\infty) \cdot 1$, che non è più una forma indeterminata:

$$\lim_n \left(5n^8 - 7n^5 + 2n + 12\right) = \lim_n 5n^8 = +\infty$$

La regola generale per i polinomi

Per un polinomio $P_r(n) = a_r n^r + \dots + a_1 n + a_0$ con $a_r \ne 0$ e $r \ge 1$:

$$\lim_n P_r(n) = \lim_n a_r n^r = \begin{cases} +\infty & a_r > 0 \\ -\infty & a_r < 0 \end{cases}$$

Conta solo il termine di grado più alto, e il segno del suo coefficiente. Qui $a_8 = 5 > 0$.

2. $\displaystyle\lim_n \frac{2n^4 - 3n^2 + 5n\sin(n^4)}{n^2 - 6n + \pi}$

Che cosa c'è di nuovo

Il numeratore non è un polinomio: contiene $5n\sin(n^4)$, che è irregolare (il seno oscilla) e anche illimitato (oscilla tra $-5n$ e $5n$). Però cresce al più come $n$, molto più lentamente di $n^4$: si può ancora raccogliere $2n^4$.

Passo 1: raccogliere sopra e sotto

Al numeratore l'infinito di ordine superiore è $2n^4$, al denominatore $n^2$:

$$\frac{2n^4\left[1 - \dfrac{3}{2n^2} + \dfrac{5}{2n^3}\sin(n^4)\right]}{n^2\left[1 - \dfrac6n + \dfrac{\pi}{n^2}\right]}$$

(nel numeratore: $\frac{5n\sin(n^4)}{2n^4} = \frac{5}{2n^3}\sin(n^4)$).

Passo 2: il pezzo irregolare tende a $0$

$\frac{5}{2n^3}\sin(n^4) = \frac{1}{n^3} \cdot \frac52\sin(n^4)$:

• $\frac{1}{n^3} \to 0$;
• $\frac52\sin(n^4)$ è limitata: $\left|\frac52\sin(n^4)\right| \le \frac52$.

Per il teorema "infinitesima per limitata"Se a_n tende a 0 e b_n è limitata, il prodotto tende a 0.Calcolo dei limiti di successioni →, il prodotto tende a $0$. (Prima di raccogliere, $5n\sin(n^4)$ non era limitato; dopo aver diviso per $2n^4$, sì: è proprio il motivo per cui si raccoglie.)

Passo 3: conclusione

Le due parentesi tendono a $1$. Resta

$$\lim_n \frac{2n^4}{n^2} = \lim_n 2n^2 = +\infty$$

Verifica numerica. Con $n = 1000$ il quoziente vale circa $2{,}012 \cdot 10^6$, e $2n^2 = 2 \cdot 10^6$: il rapporto tra i due si avvicina a $1$ ✓.

La regola per i quozienti

Per $P_r$ di grado $r$ e $Q_s$ di grado $s$ (coefficienti direttivi $a_r$, $b_s$):

$$\lim_n \frac{P_r(n)}{Q_s(n)} = \lim_n \frac{a_r}{b_s}\,n^{r - s} = \begin{cases} \pm\infty & r > s \\ \frac{a_r}{b_s} & r = s \\ 0 & r < s \end{cases}$$

Qui (esercizio 2) "grado" $4$ sopra e $2$ sotto, $\frac{a_r}{b_s} = 2 > 0$: $+\infty$. La regola vale anche quando ci sono pezzi irregolari, purché siano trascurabili rispetto al termine raccolto (vedi Limiti notevoli e gerarchia degli infinitiI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali e la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →).

Errori comuni

• Scrivere $+\infty - \infty = 0$ nell'esercizio 1.
• Pensare che $5n\sin(n^4)$ renda il limite impossibile perché è irregolare e illimitato: rispetto a $n^4$ è trascurabile.
• Raccogliere $n^2$ al numeratore (lo stesso del denominatore): tra parentesi resterebbe $2n^2$, che va a $+\infty$, e non si semplificherebbe nulla.