Lezione 33Serie notevoli e criteri del confronto

Data: lunedì 24 novembre 2025 · Capitolo 5: Serie numeriche (par. 1.1 fine e 1.2: serie a termini $\ge 0$) · Videolezione: n. 34 della playlist ("Lezione 33", 1h38)

Argomenti trattati

1. Serie notevoli: (1) serie geometrica, con il calcolo della lunghezza di $[0, 2]$ e il teorema sul carattere; esercizio 1 (per quali $x$ converge una geometrica); (2) serie di Mengoli e serie telescopiche; (3) serie armonica generalizzata I e II (carattere senza dimostrazione).
2. Proprietà delle serie: i primi termini non cambiano il carattere (ma la somma sì), costante fuori, somma di serie (tranne $+\infty - \infty$). Condizione necessaria di convergenza $a_k \to 0$, con esempi; non è sufficiente (serie armonica); esercizio 2.
3. Serie a termini non negativi: proprietà fondamentale (sono regolari), criterio del confronto con dimostrazione, validità "definitivamente", criterio del confronto asintotico (dimostrazione del punto 1).

Teoria

• Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →
• Serie numericheUna serie è la successione delle somme parziali s_n = a_0 + ... + a_n; la sua somma è il limite di s_n (converge, diverge o è irregolare). Proprietà generali e condizione necessaria: se la serie converge, gli addendi tendono a 0.Serie numeriche → — proprietà generali e condizione necessaria
• Serie a termini non negativi e criteri del confrontoUna serie a termini >= 0 converge o diverge a +infinito, mai irregolare. Criterio del confronto (0 <= a_k <= b_k), del confronto asintotico (a_k ~ L b_k) e suo corollario con le serie notevoli: si studia una serie paragonandola a 1/n^alpha o a q^n.Serie a termini non negativi e criteri del confronto →

Esercizi

• Esercizio 108 · per quali x converge una serie geometrica — esercizio 1 (il risultato indicato nel PDF non corrisponde al testo: vedi la nota nell'esercizio)
• Esercizio 109 · serie telescopica con il logaritmo — esercizio 2

Lezione precedente: Lezione 32 · Esercizi su Taylor e inizio delle serie