Esercizio 103sviluppo di Mac-Laurin di (1+2x)^sinh x

Testo (Lezione 32, esercizio 3 del foglio). Scrivere lo sviluppo di Mac Laurin fino al quarto ordine di

$$f(x) = (1 + 2x)^{\sinh x} \qquad (\text{per } x \to 0)$$

Passo 1: scrivere la potenza come esponenziale

Una funzione elevata a una funzione, $a(x)^{b(x)}$, si tratta sempre riscrivendola con l'esponenziale, usando $a = e^{\log a}$ per $a > 0$ (vedi Esponenziale e logaritmoLa funzione esponenziale a^x (base positiva diversa da 1) e la sua inversa, il logaritmo in base a, con grafici e proprietà.Esponenziale e logaritmo →):

$$a(x)^{b(x)} = \left(e^{\log a(x)}\right)^{b(x)} = e^{b(x)\log a(x)}$$

Qui $a(x) = 1 + 2x > 0$ vicino a $0$, quindi

$$f(x) = e^{\sinh x \cdot \log(1 + 2x)} = e^y, \qquad y = \sinh x \cdot \log(1 + 2x)$$

Per $x \to 0$: $\sinh x \to 0$ e $\log(1+2x) \to \log 1 = 0$, quindi $y \to 0$ ✓, e si può usare lo sviluppo $e^y = 1 + y + \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{6} + \dots$ (vedi Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli →).

Passo 2: sviluppare $y$ fino a $x^4$

$\sinh x$. È dispari$\sinh(-x) = -\sinh x$: il suo sviluppo ha solo potenze dispari, quindi dopo $x^3$ il termine successivo non nullo è $x^5$.Funzioni iperboliche →, quindi $\sinh x = x + \frac{x^3}{6} + o(x^4)$.

$\log(1 + 2x)$. Si usa $\log(1 + y_1) = y_1 - \frac{y_1^2}{2} + \frac{y_1^3}{3} + o(y_1^3)$ con $y_1 = 2x \to 0$:

$$\log(1 + 2x) = 2x - \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^3}{3} + o(x^3) = 2x - 2x^2 + \frac{8}{3}x^3 + o(x^3)$$

Perché basta $o(x^3)$ nel logaritmo. Il logaritmo viene moltiplicato per $\sinh x$, che comincia con $x$: un errore $o(x^3)$ moltiplicato per $x$ diventa $x \cdot o(x^3) = o(x^4)$, che è proprio l'ordine voluto. Allo stesso modo nel $\sinh$ basta $o(x^4)$ e anzi meno, perché viene moltiplicato per qualcosa che comincia con $2x$: $o(x^3) \cdot 2x = o(x^4)$.

Il prodotto, tenendo le potenze fino a $x^4$:

$$y = \left(x + \frac{x^3}{6} + o(x^4)\right)\left(2x - 2x^2 + \frac83 x^3 + o(x^3)\right)$$

• $x \cdot \left(2x - 2x^2 + \frac83 x^3\right) = 2x^2 - 2x^3 + \frac83 x^4$;
• $\frac{x^3}{6} \cdot 2x = \frac{x^4}{3}$ (gli altri prodotti con $\frac{x^3}{6}$ hanno grado $\ge 5$);
• tutti i prodotti con gli o piccoli sono $o(x^4)$.

$$y = 2x^2 - 2x^3 + \left(\frac83 + \frac13\right)x^4 + o(x^4) = 2x^2 - 2x^3 + 3x^4 + o(x^4)$$

Passo 3: quante potenze di $y$ servono in $e^y$

$y \sim 2x^2$, quindi $y^2 \sim 4x^4$ (grado 4, serve) e $y^3 \sim 8x^6$ (grado 6, è $o(x^4)$, si butta). Si usa

$$e^y = 1 + y + \frac{y^2}{2} + o(y^2), \qquad o(y^2) = o(x^4)$$

Passo 4: sostituire

Il quadrato fino a $x^4$: il termine più basso è $(2x^2)^2 = 4x^4$; il doppio prodotto $2 \cdot 2x^2 \cdot (-2x^3) = -8x^5$ e tutti gli altri hanno grado $\ge 5$. Quindi $y^2 = 4x^4 + o(x^4)$.

$$f(x) = 1 + \left(2x^2 - 2x^3 + 3x^4\right) + \frac12 \cdot 4x^4 + o(x^4) = 1 + 2x^2 - 2x^3 + 5x^4 + o(x^4)$$

$$\boxed{(1 + 2x)^{\sinh x} = 1 + 2x^2 - 2x^3 + 5x^4 + o(x^4), \qquad T_4(x) = 1 + 2x^2 - 2x^3 + 5x^4}$$

Verifica con Python (sympy): series((1+2*x)**sinh(x), x, 0, 5) dà $1 + 2x^2 - 2x^3 + 5x^4 + O(x^5)$ ✓.

Errori comuni

• Tenere troppo pochi termini del logaritmo: con $\log(1+2x) = 2x + o(x)$ il prodotto sarebbe $2x^2 + o(x^2)$, e i termini $x^3$, $x^4$ andrebbero persi.
• Dimenticare il termine $\frac{y^2}{2}$ dell'esponenziale: contribuisce $2x^4$, metà del coefficiente finale.
• Scrivere $(1+2x)^{\sinh x} \approx 1 + \sinh x \cdot 2x$ come se fosse $(1 + t)^\alpha$ con $\alpha$ costante: l'esponente qui è una funzione, quindi si passa all'esponenziale.