Esercizio 44limiti con l'arcotangente e prodotti di radici

Testo (Lezione 16, esercizi 14 e 15). Calcolare

1. $\displaystyle\lim_n \arctan\left(8\sqrt n\,\log(n^3) - 2^n\right)$
2. $\displaystyle\lim_n \frac{\sqrt[3]{n^3 + 6n - 8\log n}}{\sqrt{n^4 + \sin(5n) - 3n}} \cdot \left(2n + \arctan(3n) - 3\right)$

1. $\lim_n \arctan\left(8\sqrt n\,\log(n^3) - 2^n\right)$

Passo 1: portare il limite dentro l'arcotangente

L'arcotangente è una funzione elementare, quindi "passa dentro" il limite (funzioni elementari e limitiSe a_n tende a ℓ e f è elementare, f(a_n) tende a f(ℓ); con ℓ infinito si legge il valore dal grafico di f.Calcolo dei limiti di successioni →): basta calcolare il limite dell'argomento,

$$\lim_n \left(8\sqrt n\,\log(n^3) - 2^n\right)$$

e poi leggere sul grafico dell'arcotangente che cosa succede.

Passo 2: semplificare l'argomento

Per le proprietà del logaritmo $\log(n^3) = 3\log n$, quindi $8\sqrt n\,\log(n^3) = 24\,n^{1/2}\log n$. L'argomento è

$$24\,n^{1/2}\log n - 2^n$$

una forma $+\infty - \infty$.

Una domanda della prof: si può usare la gerarchia "pezzo per pezzo"?

Si sa che $n^{1/2} = o(2^n)$ e $\log n = o(2^n)$. Si può concludere che il prodotto $n^{1/2}\log n$ è $o(2^n)$? In generale no: l'o-piccolo non si moltiplicaSe a_n = o(b_n) e a'_n = o(b_n), il prodotto a_n a'_n non è per forza o(b_n).Asintoticità e o-piccolo →. Controesempio: $n^2 = o(n^4)$ e $n^3 = o(n^4)$, ma $n^2 \cdot n^3 = n^5$ non è $o(n^4)$.

Il trucco: spezzare $2^n$

Si scrive $2^n = 2^{n/2 + n/2} = 2^{n/2} \cdot 2^{n/2} = (\sqrt2)^n(\sqrt2)^n$ e si divide un pezzo per ciascun fattore:

$$\frac{n^{1/2}\log n}{2^n} = \frac{n^{1/2}}{(\sqrt2)^n} \cdot \frac{\log n}{(\sqrt2)^n}$$

Ognuno dei due fattori tende a $0$ per la gerarchia: una potenza diviso un esponenziale di base $\sqrt2 > 1$, e un logaritmo diviso un esponenziale. Il prodotto tende a $0 \cdot 0 = 0$. Quindi $n^{1/2}\log n = o(2^n)$.

Passo 3: raccogliere

$$24\,n^{1/2}\log n - 2^n = -2^n\left[1 - \frac{24\,n^{1/2}\log n}{2^n}\right] \to (-\infty) \cdot 1 = -\infty$$

Passo 4: conclusione

Sul grafico dell'arcotangenteFunzione crescente definita su tutto ℝ; per x che va a −∞ si avvicina a −π/2, per x che va a +∞ a π/2.Funzioni trigonometriche e loro inverse →, quando l'argomento va a $-\infty$ i valori si avvicinano all'asintoto orizzontale $y = -\frac{\pi}{2}$:

$$\lim_n \arctan\left(8\sqrt n\,\log(n^3) - 2^n\right) = \arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2}$$

(scrittura abbreviata per "il limite di $\arctan x$ per $x \to -\infty$").

2. Il prodotto con le radici

Si chiamano $F_1 = \sqrt[3]{n^3 + 6n - 8\log n}$, $F_2 = \sqrt{n^4 + \sin(5n) - 3n}$, $F_3 = 2n + \arctan(3n) - 3$. Il limite è quello di $\frac{F_1}{F_2} \cdot F_3$: prodotti e quozienti, quindi si può sostituire ogni fattore con un suo asintoticoa_n ~ b_n se a_n/b_n tende a 1; nei prodotti e quozienti si può sostituire un fattore con uno asintotico.Asintoticità e o-piccolo →.

$F_1 \sim n$

Si raccoglie $n^3$ sotto la radice e lo si porta fuori ($\sqrt[3]{n^3} = n$):

$$F_1 = \sqrt[3]{n^3\left[1 + \frac{6}{n^2} - \frac{8\log n}{n^3}\right]} = n\,\sqrt[3]{1 + \frac{6}{n^2} - \frac{8\log n}{n^3}}$$

La quantità sotto la radice tende a $1$ ($\frac{\log n}{n^3} \to 0$ per la gerarchia), e $\sqrt[3]{\cdot}$ passa dentro il limite: la radice tende a $1$. Quindi $F_1 \sim n$.

$F_2 \sim n^2$

Allo stesso modo, raccogliendo $n^4$ e portando fuori $\sqrt{n^4} = n^2$:

$$F_2 = n^2\sqrt{1 + \frac{\sin(5n)}{n^4} - \frac{3}{n^3}} \sim n^2$$

($\frac{\sin(5n)}{n^4} \to 0$: infinitesima per limitata).

$F_3 \sim 2n$

$$F_3 = 2n\left[1 + \frac{\arctan(3n)}{2n} - \frac{3}{2n}\right] \sim 2n$$

($\arctan(3n)$ è limitata, tra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$, quindi $\frac{\arctan(3n)}{2n} \to 0$).

Conclusione

$$L = \lim_n \frac{n}{n^2} \cdot 2n = \lim_n \frac{2n^2}{n^2} = 2$$

Verifica numerica. Con $n = 1000$ il valore è circa $1{,}99857$, con $n = 10^5$ circa $1{,}999986$ ✓.

Lo stesso calcolo in modo più rapido

Si può ragionare sotto le radici: $n^3 + 6n - 8\log n = n^3 + o(n^3) \sim n^3$ (gerarchia), e poiché le potenze conservano l'asintoticitàSe a_n ~ b_n allora a_n^α ~ b_n^α per ogni α ≠ 0.Asintoticità e o-piccolo → (la radice cubica è la potenza $\frac13$), $F_1 \sim \sqrt[3]{n^3} = n$. Allo stesso modo $n^4 + \sin(5n) - 3n \sim n^4$ e $F_2 \sim \sqrt{n^4} = n^2$.

Attenzione: questo passaggio funziona perché la radice è una potenza. Se $a_n \sim b_n$, in generale non è vero che $f(a_n) \sim f(b_n)$ per una funzione qualsiasi $f$ (per esempio con $f = \exp$ non vale).

Errori comuni

• Dire che $n^{1/2}\log n = o(2^n)$ "perché entrambi i fattori sono $o(2^n)$": la conclusione è vera, ma la ragione no; serve il trucco di spezzare $2^n$.
• Fermarsi a "l'argomento va a $-\infty$" senza applicare l'arcotangente: il risultato è $-\frac{\pi}{2}$.
• Sostituire con gli asintotici dentro una somma (per esempio dentro $F_3$ prima di raccogliere): si fa solo con fattori di prodotti e quozienti.