Esercizio 33dominio, segno, simmetrie e periodicità

Testo (Lezione 13, esercizio 11 del foglio). Dominio, segno, eventuali simmetrie e periodicità di:

1. $f(x) = \sqrt{\log(x^2 + 4x + 3)}$
2. $f(x) = \sqrt{\log_{1/3}(x^2 - x - 1)}$
3. $f(x) = \sqrt{4\cos^2 x - 1} + |\sin x|$
4. $f(x) = \dfrac{\sin(\pi x)}{\cos(3x)}$ (solo periodicità e simmetrie: lo studio del segno la prof lo lascia a metà, vedi sotto)

($\log$ senza base è il logaritmo in base $e$.)

Il metodo, in breve

Per ognuna delle quattro funzioni si rispondono quattro domande, sempre nello stesso ordine:

1. Dominio: dove la formula ha senso. Ogni "operazione delicata" porta una condizione: radice quadrata → argomento $\ge 0$; logaritmo → argomento $> 0$; frazione → denominatore $\ne 0$.
2. Segno: dove $f(x) > 0$, $= 0$, $< 0$.
3. Simmetrie: si controlla se il dominio è simmetrico e si confronta $f(-x)$ con $f(x)$ e $-f(x)$ (vedi Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →).
4. Periodicità: si cerca un $T > 0$ con $f(x + T) = f(x)$ (vedi Funzioni periodicheUna funzione è periodica di periodo T se si ripete uguale dopo ogni intervallo di lunghezza T; f(cx) ha periodo T/c, e somme o prodotti di periodiche sono periodici solo se il rapporto dei periodi è razionale.Funzioni periodiche →).

Simmetrie e periodicità servono a ridurre il lavoro: se $f$ è pari basta studiarla per $x \ge 0$, se è anche periodica basta mezzo periodo.

1. $f(x) = \sqrt{\log(x^2 + 4x + 3)}$

Dominio

Due condizioni, da mettere a sistema (devono valere insieme):

$$\begin{cases} x^2 + 4x + 3 > 0 & \text{(argomento del logaritmo)} \\ \log(x^2 + 4x + 3) \ge 0 & \text{(argomento della radice)} \end{cases}$$

La seconda condizione. $\log(X) \ge 0$ significa $\log X \ge \log 1$ (perché $\log 1 = 0$). Il logaritmo in base $e$ è strettamente crescenteBase $e > 1$: a numeri più grandi corrispondono logaritmi più grandi, quindi si può togliere il log da entrambi i membri senza cambiare il verso.Esponenziale e logaritmo →, quindi $\log X \ge \log 1 \iff X \ge 1$:

$$x^2 + 4x + 3 \ge 1$$

La prima condizione è assorbita dalla seconda. Se $x^2 + 4x + 3 \ge 1$, a maggior ragione $x^2 + 4x + 3 > 0$. Per questo la prof la cancella: basta risolvere la seconda.

Risoluzione. $x^2 + 4x + 3 \ge 1 \iff x^2 + 4x + 2 \ge 0$. Radici con la formula ridottaPer $x^2 + bx + c = 0$ con $b$ pari: $x = -\frac b2 \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} - c}$. Qui $b = 4$, $c = 2$.:

$$x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{4 - 2} = -2 \pm \sqrt2$$

La parabola $y = x^2 + 4x + 2$ è rivolta verso l'alto (coefficiente di $x^2$ positivo), quindi è $\ge 0$ fuori dalle radici:

$$\mathrm{Dom}(f) = \left(-\infty, -2 - \sqrt2\right] \cup \left[-2 + \sqrt2, +\infty\right)$$

(numericamente $-2 - \sqrt2 \approx -3{,}41$ e $-2 + \sqrt2 \approx -0{,}59$).

Segno

$f(x) = \sqrt{\ldots} \ge 0$ per ogni $x$ del dominio: la radice quadrataPer definizione è il numero non negativo il cui quadrato è l'argomento: non è mai negativa.Funzioni potenza → non è mai negativa. Vale $0$ solo dove l'argomento è $0$, cioè agli estremi $x = -2 \pm \sqrt2$.

Simmetrie e periodicità

• Simmetrie: no. Il dominio non è simmetrico rispetto a $0$: per esempio $x = 1$ è nel dominio ($1 \ge -0{,}59$), mentre $-1$ no (perché $-3{,}41 < -1 < -0{,}59$). Senza dominio simmetrico $f$ non può essere né pari né dispari.
• Periodicità: no. Il dominio non è "a ripetizione", e per $x \to +\infty$ l'argomento $x^2 + 4x + 3$ cresce senza limite: i valori di $f$ non si ripetono.

2. $f(x) = \sqrt{\log_{1/3}(x^2 - x - 1)}$

Dominio

$$\begin{cases} x^2 - x - 1 > 0 & \text{(argomento del logaritmo)} \\ \log_{1/3}(x^2 - x - 1) \ge 0 & \text{(argomento della radice)} \end{cases}$$

Attenzione alla base. Qui la base è $\frac13 < 1$: il logaritmo $y = \log_{1/3} X$ è strettamente decrescenteCon base tra 0 e 1 il logaritmo scende: a numeri più grandi corrispondono logaritmi più piccoli, e togliendo il log il verso della disuguaglianza si inverte.Esponenziale e logaritmo →. Dal grafico (passa per $(1, 0)$ e scende) si legge:

$$\log_{1/3} X \ge 0 \iff 0 < X \le 1$$

Quindi la seconda condizione dà $x^2 - x - 1 \le 1$ (verso invertito!), e questa volta la prima condizione non è assorbita: va tenuta.

Prima disequazione: $x^2 - x - 1 > 0$. Radici $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt5}{2}$. Parabola verso l'alto, positiva fuori dalle radici:

$$x < \frac{1 - \sqrt5}{2} \quad \text{oppure} \quad x > \frac{1 + \sqrt5}{2} \qquad (\approx -0{,}618 \text{ e } 1{,}618)$$

Seconda disequazione: $x^2 - x - 1 \le 1$, cioè $x^2 - x - 2 \le 0$. Radici $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$, cioè $-1$ e $2$. Parabola verso l'alto, $\le 0$ tra le radici:

$$-1 \le x \le 2$$

Intersezione (il sistema chiede che valgano entrambe). Mettendo i punti in ordine sulla retta, $-1 < \frac{1 - \sqrt5}{2} < \frac{1 + \sqrt5}{2} < 2$:

$$\mathrm{Dom}(f) = \left[-1, \frac{1 - \sqrt5}{2}\right) \cup \left(\frac{1 + \sqrt5}{2}, 2\right]$$

Gli estremi $\frac{1 \pm \sqrt5}{2}$ sono esclusi (lì l'argomento del logaritmo è $0$), mentre $-1$ e $2$ sono inclusi (lì l'argomento è $1$, il logaritmo vale $0$ e la radice di $0$ esiste).

Segno, simmetrie, periodicità

• Segno: $f(x) \ge 0$ per ogni $x$ del dominio (è una radice); vale $0$ in $x = -1$ e $x = 2$.
• Simmetrie: no, il dominio non è simmetrico (per esempio $2$ sta nel dominio, $-2$ no).
• Periodicità: no, il dominio è limitato (sta tutto in $[-1, 2]$), mentre una funzione periodica deve avere dominio illimitato in entrambe le direzioni.

3. $f(x) = \sqrt{4\cos^2 x - 1} + |\sin x|$

Qui conviene seguire il consiglio della prof (il "NB" nella soluzione): prima simmetrie e periodicità, perché riducono molto il lavoro sul dominio.

Simmetrie: $f$ è pari

Il dominio (lo troveremo tra poco) dipende solo da $\cos^2 x$, che non cambia scambiando $x$ con $-x$: è simmetrico. Calcoliamo $f(-x)$ usando che il coseno è pari e il seno è dispari$\cos(-x) = \cos x$ e $\sin(-x) = -\sin x$.Funzioni trigonometriche e loro inverse →:

$$f(-x) = \sqrt{4\cos^2(-x) - 1} + |\sin(-x)| = \sqrt{4\cos^2 x - 1} + |-\sin x| = \sqrt{4\cos^2 x - 1} + |\sin x| = f(x)$$

(il penultimo passaggio usa $|-A| = |A|$). Quindi $f$ è pari: basta studiarla per $x \ge 0$.

Periodicità: $f$ è $\pi$-periodica (non solo $2\pi$!)

$\cos$ e $\sin$ hanno periodo $2\pi$, quindi certamente $f(x + 2\pi) = f(x)$. Ma si può fare meglio. Usando $\cos(x + \pi) = -\cos x$ e $\sin(x + \pi) = -\sin x$ (spostarsi di mezzo giro sulla circonferenza porta nel punto opposto):

$$f(x + \pi) = \sqrt{4(-\cos x)^2 - 1} + |-\sin x| = \sqrt{4\cos^2 x - 1} + |\sin x| = f(x)$$

Il quadrato e il modulo "mangiano" il segno meno. Quindi $f$ è $\pi$-periodica (è la regola "$\cos^2 x$, $\sin^2 x$, $|\cos x|$, $|\sin x|$ sono $\pi$-periodiche", vedi Funzioni periodicheUna funzione è periodica di periodo T se si ripete uguale dopo ogni intervallo di lunghezza T; f(cx) ha periodo T/c, e somme o prodotti di periodiche sono periodici solo se il rapporto dei periodi è razionale.Funzioni periodiche →).

Conseguenza. Pari + periodo $\pi$: basta studiare $f$ in $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$Per una funzione periodica e pari basta mezzo periodo: si ricava $[-\pi/2, \pi/2]$ per simmetria e tutto il resto per periodicità.Funzioni periodiche → (mezzo periodo).

Dominio

Condizione della radice:

$$4\cos^2 x - 1 \ge 0 \iff \cos^2 x \ge \frac14 \iff |\cos x| \ge \frac12 \iff \cos x \le -\frac12 \ \ \text{oppure} \ \ \cos x \ge \frac12$$

(da $A^2 \ge \frac14$ si passa a $|A| \ge \frac12$ prendendo la radice dei due membri, che sono non negativi).

Sulla circonferenza goniometrica. Il coseno è l'ascissa del punto sulla circonferenza: le soluzioni sono gli archi che stanno a destra della retta verticale $X = \frac12$ oppure a sinistra della retta $X = -\frac12$.

• $\cos x = \frac12$ in $\bar{x}_1 = \arccos\frac12 = \frac{\pi}{3}$ (e in $-\frac{\pi}{3}$). Quindi $\cos x \ge \frac12$ per $-\frac{\pi}{3} + 2k\pi \le x \le \frac{\pi}{3} + 2k\pi$.
• $\cos x = -\frac12$ in $\bar{x}_2 = \arccos\left(-\frac12\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2}{3}\pi$ (e in $\bar{x}_3 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac43\pi$). Quindi $\cos x \le -\frac12$ per $\frac23\pi + 2k\pi \le x \le \frac43\pi + 2k\pi$.

($k \in \mathbb{Z}$: si aggiunge $2k\pi$ perché il coseno si ripete ogni giro.) Le due famiglie si possono unire in una sola, perché il secondo arco è il primo spostato di $\pi$:

$$\mathrm{Dom}(f) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left[-\frac{\pi}{3} + k\pi, \ \frac{\pi}{3} + k\pi\right]$$

Nell'intervallo di studio $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ il dominio è $0 \le x \le \frac{\pi}{3}$: tra $\frac{\pi}{3}$ e $\frac{\pi}{2}$ il coseno è positivo ma minore di $\frac12$.

Segno

$f(x) \ge 0$ per ogni $x$ del dominio, perché è somma di due quantità non negative: una radice ($\ge 0$) e un valore assoluto ($\ge 0$). Anzi è $f(x) = 0$ solo se entrambe sono $0$: $|\sin x| = 0$ vuol dire $x = k\pi$, ma lì $\cos^2 x = 1$ e la radice vale $\sqrt3 \ne 0$. Quindi $f(x) > 0$ su tutto il dominio.

4. $f(x) = \dfrac{\sin(\pi x)}{\cos(3x)}$

Dominio

Il denominatore non deve annullarsi: $\cos(3x) \ne 0$. Il coseno si annulla in $\frac{\pi}{2} + k\pi$, quindi

$$3x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi \iff x \ne \frac{\pi}{6} + k\,\frac{\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$$\mathrm{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{6} + k\,\frac{\pi}{3} : k \in \mathbb{Z}\right\}$$

Simmetrie: $f$ è dispari

Dominio simmetrico (se si toglie $\frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{3}$ si toglie anche il suo opposto $-\frac{\pi}{6} - k\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + (-k - 1)\frac{\pi}{3}$). Poi, seno dispari e coseno pari:

$$f(-x) = \frac{\sin(-\pi x)}{\cos(-3x)} = \frac{-\sin(\pi x)}{\cos(3x)} = -f(x)$$

Quindi $f$ è dispari e in uno studio completo ci si potrebbe limitare a $x \ge 0$.

Periodicità: $f$ non è periodica

Per la regola del periodo di $f(cx)$Se $f$ ha periodo $T$ e $c > 0$, allora $f(cx)$ ha periodo $T/c$.Funzioni periodiche →:

• $\sin(\pi x)$ ha periodo $T_1 = \frac{2\pi}{\pi} = 2$;
• $\cos(3x)$ ha periodo $T_2 = \frac{2\pi}{3}$.

Il rapporto dei periodi è

$$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi}{3} \cdot \frac12 = \frac{\pi}{3} \notin \mathbb{Q}$$

perché $\pi$ è irrazionale. Per la regola sul quoziente di funzioni periodicheSomme, prodotti e quozienti di funzioni periodiche sono periodici solo se il rapporto dei periodi è razionale.Funzioni periodiche →, $f$ non è periodica.

Una dimostrazione diretta (per chi vuole vedere che non è solo una regola pratica). Supponiamo per assurdo che $f(x + T) = f(x)$ per ogni $x$ del dominio, con $T > 0$.

1. Il dominio deve essere invariante per traslazione di $T$: se $x$ sta nel dominio, deve starci anche $x + T$ (e viceversa). I punti esclusi sono distanziati di $\frac{\pi}{3}$ l'uno dall'altro, quindi spostandoli di $T$ devono ricadere su punti esclusi: $T$ deve essere un multiplo di $\frac{\pi}{3}$, cioè $T = m\,\frac{\pi}{3}$ con $m \in \mathbb{N}^*$.
2. Gli zeri devono ripetersi: $f(x) = 0 \iff \sin(\pi x) = 0 \iff x \in \mathbb{Z}$ (gli interi stanno tutti nel dominio, perché i punti esclusi $\frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{3}$ sono irrazionali). Se $f$ è $T$-periodica, da $f(0) = 0$ segue $f(T) = 0$, quindi $T$ è un intero.
3. Allora $m\,\frac{\pi}{3} = T \in \mathbb{N}$, cioè $\pi = \frac{3T}{m} \in \mathbb{Q}$: assurdo, perché $\pi$ è irrazionale ⚡.

Il segno (dove la prof si ferma)

$f(x) \ge 0$ quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno.

• Numeratore: $\sin(\pi x) \ge 0 \iff 2k\pi \le \pi x \le (2k + 1)\pi \iff 2k \le x \le 2k + 1$, $k \in \mathbb{Z}$: intervalli di lunghezza $1$ con estremi interi.
• Denominatore: $\cos(3x) > 0 \iff -\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 3x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \iff -\frac{\pi}{6} + \frac23 k\pi < x < \frac{\pi}{6} + \frac23 k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$: intervalli di lunghezza $\frac{\pi}{3}$ con estremi irrazionali.

Il problema: le due famiglie di intervalli hanno "passi" che non vanno mai d'accordo (è proprio la non periodicità), quindi la tabella dei segni non si ripete e non si può scrivere in una forma compatta. La prof commenta "mi pare un po' impossibile, fermiamoci qui".

Vicino all'origine si può comunque leggere il segno. In $[0, 1]$ il numeratore è $\ge 0$; il denominatore è positivo per $0 \le x < \frac{\pi}{6} \approx 0{,}524$ e negativo per $\frac{\pi}{6} < x \le 1$ (fino a $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}571$ il coseno di $3x$ resta negativo). Quindi

$$f(x) \ge 0 \text{ su } \left[0, \tfrac{\pi}{6}\right), \qquad f(x) \le 0 \text{ su } \left(\tfrac{\pi}{6}, 1\right]$$

e, essendo $f$ dispari, i segni si scambiano in $[-1, 0]$.

Errori comuni

• Dimenticare di invertire il verso con il logaritmo di base minore di $1$ (funzione 2): $\log_{1/3} X \ge 0$ vuol dire $X \le 1$, non $X \ge 1$.
• Tenere la condizione "argomento del log $> 0$" quando è già implicata dall'altra (funzione 1): non è un errore, ma è lavoro in più. Nella funzione 2 invece non è implicata e va tenuta.
• Dire che $f$ è pari o dispari senza guardare il dominio (funzioni 1 e 2).
• Dare come periodo $2\pi$ quando ci sono $\cos^2$ o $|\sin|$ (funzione 3): il periodo è $\pi$.
• Dichiarare periodica una somma o un quoziente senza controllare il rapporto dei periodi (funzione 4).