Esercizio 111serie con π meno sin n al numeratore

Testo (Lezione 34, esercizio 4 del foglio). La serie

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\pi - \sin n}{\sqrt n + n\log n}$$

converge?

Passo 1: il fattore che oscilla

Come in Esercizio 110 · serie con il modulo del coseno al numeratore, al numeratore c'è un fattore senza limite: $\sin n$ oscilla tra $-1$ e $1$. Però è limitato, e questo basta per stimare il numeratore:

$$\sin n \le 1 \quad \Longrightarrow \quad -\sin n \ge -1 \quad \Longrightarrow \quad \pi - \sin n \ge \pi - 1 > 0$$

(moltiplicando per $-1$ il verso si inverte). Il numeratore è sempre almeno $\pi - 1 \approx 2{,}14$, e il denominatore è positivo per $n \ge 1$. Quindi $a_n > 0$ e

$$a_n = \frac{\pi - \sin n}{\sqrt n + n\log n} \ge \frac{\pi - 1}{\sqrt n + n\log n} = b_n > 0$$

Perché minorare e non maggiorare. Si sospetta che la serie diverga (il denominatore cresce solo come $n \log n$, che è "al limite" per la convergenza). Per dimostrare la divergenza con il criterio del confrontoSe $0 \le b_n \le a_n$ e $\sum b_n$ diverge, diverge anche $\sum a_n$.Serie a termini non negativi e criteri del confronto → serve una serie più piccola che diverge.

Passo 2: carattere di $\sum b_n$

Al denominatore domina $n\log n$: $\frac{\sqrt n}{n \log n} = \frac{1}{\sqrt n\,\log n} \to 0$, quindi $\sqrt n = o(n\log n)$ e

$$\sqrt n + n\log n = n\log n + o(n\log n) \sim n\log n \qquad \Longrightarrow \qquad b_n \sim (\pi - 1) \cdot \frac{1}{n\log n}$$

È il caso $\alpha = 1$, $\beta = 1$ della serie armonica generalizzata II$\sum \frac{1}{n^\alpha \log^\beta n}$ converge se e solo se $\alpha > 1$, oppure $\alpha = 1$ e $\beta > 1$.Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →: con $\alpha = 1$ serve $\beta > 1$ per convergere, e qui $\beta = 1$. Quindi $\sum \frac{1}{n \log n}$ diverge, e per il confronto asintotico (corollario, punto 2) diverge anche $\sum b_n$.

Conclusione

$a_n \ge b_n > 0$ e $\sum b_n = +\infty$: per il criterio del confronto

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\pi - \sin n}{\sqrt n + n\log n} = +\infty \quad \text{(diverge)}$$

Errori comuni

• Maggiorare il numeratore con $\pi + 1$: si otterrebbe $a_n \le \frac{\pi+1}{\sqrt n + n \log n}$, cioè una serie più grande che diverge, da cui non si conclude nulla.
• Scrivere $a_n \sim \frac{\pi - \sin n}{n \log n}$ e fermarsi: non è un confronto con una serie nota, perché il numeratore non ha limite.
• Credere che $\frac{1}{n \log n}$ converga "perché c'è il logaritmo in più": con $\alpha = 1$ serve $\beta > 1$.