Corsi di laurea › Ing. Telecomunicazioni › Analisi Matematica 1 › 8. Serie numeriche Esercizio 109serie telescopica con il logaritmo In questa pagina 6 Passo 1: la condizione necessaria Passo 2: riconoscere una serie telescopica Passo 3: le somme parziali Passo 4: il limite Che cosa insegna Errori comuni Testo (Lezione 33, esercizio 2). Studiare il carattere di
∑ k = 1 + ∞ log ( k + 1 k ) \sum_{k=1}^{+\infty} \log\left(\sqrt{\frac{k+1}{k}}\right) k = 1 ∑ + ∞ log ( k k + 1 )
Passo 1: la condizione necessaria
Prima di tutto si controlla la condizione necessariaSe una serie converge, i suoi addendi tendono a 0. Se gli addendi non tendono a 0, la serie non converge.Serie numeriche → : a k = log k + 1 k a_k = \log\sqrt{\frac{k+1}{k}} a k = log k k + 1 k → + ∞ k \to +\infty k → + ∞ k + 1 k = 1 + 1 k → 1 \frac{k+1}{k} = 1 + \frac1k \to 1 k k + 1 = 1 + k 1 → 1 k + 1 k → 1 \sqrt{\frac{k+1}{k}} \to 1 k k + 1 → 1
lim k → + ∞ a k = log 1 = 0 \lim_{k \to +\infty} a_k = \log 1 = 0 k → + ∞ lim a k = log 1 = 0
La condizione è soddisfatta: la serie può convergere, ma non è detto. Serve un'altra strada.
Passo 2: riconoscere una serie telescopica
Le proprietà del logaritmolog A B = log A − log B \log\frac{A}{B} = \log A - \log B log B A = log A − log B A , B > 0 A, B > 0 A , B > 0 Esponenziale e logaritmo → permettono di spezzare il quoziente:
a k = log k + 1 k = log k + 1 − log k a_k = \log\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}} = \log\sqrt{k+1} - \log\sqrt k a k = log k k + 1 = log k + 1 − log k
(si è usato anche k + 1 k = k + 1 k \sqrt{\frac{k+1}{k}} = \frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt k} k k + 1 = k k + 1 b k − b k + 1 b_k - b_{k+1} b k − b k + 1 serie telescopicheSe a k = b k − b k + 1 a_k = b_k - b_{k+1} a k = b k − b k + 1 s n = b 1 − b n + 1 s_n = b_1 - b_{n+1} s n = b 1 − b n + 1 Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → si riordina:
a k = − log k − ( − log k + 1 ) = b k − b k + 1 , b k = − log k a_k = -\log\sqrt k - \left(-\log\sqrt{k+1}\right) = b_k - b_{k+1}, \qquad b_k = -\log\sqrt k a k = − log k − ( − log k + 1 ) = b k − b k + 1 , b k = − log k
Passo 3: le somme parziali
Per il teorema delle serie telescopiche (o scrivendo i termini e cancellando):
s n = ( b 1 − b 2 ) + ( b 2 − b 3 ) + ⋯ + ( b n − b n + 1 ) = b 1 − b n + 1 s_n = (b_1 - \cancel{b_2}) + (\cancel{b_2} - \cancel{b_3}) + \dots + (\cancel{b_n} - b_{n+1}) = b_1 - b_{n+1} s n = ( b 1 − b 2 ) + ( b 2 − b 3 ) + ⋯ + ( b n − b n + 1 ) = b 1 − b n + 1
Con b 1 = − log 1 = − log 1 = 0 b_1 = -\log\sqrt1 = -\log 1 = 0 b 1 = − log 1 = − log 1 = 0 b n + 1 = − log n + 1 b_{n+1} = -\log\sqrt{n+1} b n + 1 = − log n + 1
s n = 0 + log n + 1 = log n + 1 s_n = 0 + \log\sqrt{n+1} = \log\sqrt{n+1} s n = 0 + log n + 1 = log n + 1
Verifica sui primi termini: s 1 = a 1 = log 2 s_1 = a_1 = \log\sqrt2 s 1 = a 1 = log 2 s 2 = log 2 + log 3 2 = log 2 ⋅ 3 2 = log 3 s_2 = \log\sqrt2 + \log\sqrt{\tfrac32} = \log\sqrt{2 \cdot \tfrac32} = \log\sqrt3 s 2 = log 2 + log 2 3 = log 2 ⋅ 2 3 = log 3
Passo 4: il limite
lim n → + ∞ s n = lim n → + ∞ log n + 1 = + ∞ \lim_{n \to +\infty} s_n = \lim_{n \to +\infty} \log\sqrt{n+1} = +\infty n → + ∞ lim s n = n → + ∞ lim log n + 1 = + ∞
perché n + 1 → + ∞ \sqrt{n+1} \to +\infty n + 1 → + ∞ + ∞ +\infty + ∞ + ∞ +\infty + ∞
∑ k = 1 + ∞ log k + 1 k = + ∞ (serie divergente) \boxed{\sum_{k=1}^{+\infty} \log\sqrt{\frac{k+1}{k}} = +\infty \quad \text{(serie divergente)}} k = 1 ∑ + ∞ log k k + 1 = + ∞ (serie divergente)
Che cosa insegna
Gli addendi tendono a 0 0 0 non è sufficiente . Le somme parziali crescono lentissimamente (s 100 = log 101 ≈ 2 , 31 s_{100} = \log\sqrt{101} \approx 2{,}31 s 100 = log 101 ≈ 2 , 31
Errori comuni
Concludere "converge" perché a k → 0 a_k \to 0 a k → 0 .Sbagliare il segno di b k b_k b k : con b k = log k b_k = \log\sqrt k b k = log k a k = b k + 1 − b k a_k = b_{k+1} - b_k a k = b k + 1 − b k s n = b n + 1 − b 1 s_n = b_{n+1} - b_1 s n = b n + 1 − b 1
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