Lezione 31Formula di Taylor

Data: giovedì 20 novembre 2025 · Capitolo 4: Calcolo differenziale (par. 7.3 e 7.4 del libro) · Videolezione: n. 32 della playlist ("Lezione 31", 1h37)

Argomenti trattati

1. Sviluppi di Mac-Laurin e formula di Taylor con resto di Peano. La domanda: approssimare $f$ con un polinomio di grado $\le n$ con errore $o(x^n)$. L'esempio di $\sin x$ per $n = 1, 2, 3$ con de l'Hôpital; teorema per $x_0 = 0$ con dimostrazione per induzione e unicità del polinomio; sviluppi di $e^x$ e $\sin x$; teorema per $x_0 \in \mathbb{R}$ qualsiasi ed esempio di $\sin x$ in $\frac\pi4$ (i polinomi in punti diversi sono indipendenti).
2. Cenni alla formula di Taylor con resto di Lagrange: approssimazione globale su $[a, b]$ quando tutte le derivate sono limitate da uno stesso $M$.
3. Esercizi: approssimare $e^x$ su $[0, \frac12]$ con errore $< \frac{1}{100}$ e stimare $\sqrt e$; esercizio 2 del foglio di ricapitolazione ($\log(\cos x)$) con l'errore frequente.

Teoria

• Formula di Taylor con resto di PeanoUna funzione derivabile n volte in x0 si scrive, vicino a x0, come un polinomio di grado al più n (il polinomio di Taylor, costruito con le derivate in x0) più un errore o((x-x0)^n); il polinomio è unico. Per x0 = 0 si chiama sviluppo di Mac-Laurin.Formula di Taylor con resto di Peano →
• Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli → — tabella degli sviluppi e regole per comporli
• Formula di Taylor con resto di LagrangeSe f ha n+1 derivate continue su [a,b], l'errore tra f e il suo polinomio di Taylor si scrive esattamente come f^(n+1)(c)(x-x0)^(n+1)/(n+1)! per un c opportuno: serve a stimare l'errore su tutto un intervallo e a scegliere il grado del polinomio.Formula di Taylor con resto di Lagrange →

Esercizi

• Esercizio 101 · approssimare e^x tra 0 e 1/2 e stimare la radice di e
• Esercizio 102 · sviluppo di Mac-Laurin di log(cos x) — esercizio 2 del foglio