Lezione 15Infiniti di ordine superiore, numero e e gerarchia

Data: giovedì 23 ottobre 2025 · Capitolo 3: Limiti e continuità (successioni) · Videolezione: n. 17 della playlist ("Lezione 15", 1h39)

Argomenti trattati

1. Teorema 8: confronto per le successioni divergenti.
2. Artifici per le forme indeterminate $+\infty - \infty$ e $\frac{\infty}{\infty}$: infinito di ordine superiore, potenze, polinomi e quozienti di polinomi; esercizi 5, 6, 7 e 7 "bis".
3. Il numero di Nepero: $e = \lim_n \left(1 + \frac1n\right)^n$; i limiti $\left(1 + \frac{1}{a_n}\right)^{a_n} \to e$ e $\left(1 + \frac{x}{a_n}\right)^{a_n} \to e^x$; la forma $1^\infty$ e la scrittura in forma esponenziale; esercizio 8.
4. Successioni esponenziali $a^n$ (dimostrazione con la disuguaglianza di Bernoulli); esercizio 9.
5. Gerarchia delle successioni infinite (logaritmi, potenze, esponenziali, fattoriale, $n^n$); esercizio 11; la forma $\frac00$, esercizio 10.

Teoria

• Calcolo dei limiti di successioniGli strumenti per calcolare i limiti senza la definizione: algebra dei limiti, permanenza del segno, carabinieri, infinitesima per limitata, algebra degli infiniti, reciproco, confronto per le divergenti e forme indeterminate.Calcolo dei limiti di successioni → — Teorema 8
• Limiti notevoli e gerarchia degli infinitiI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali e la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti → — infiniti di ordine superiore, polinomi, $e$, esponenziali, gerarchia, forma $\frac00$

Esercizi

• Esercizio 38 · limiti di polinomi con termini irregolari — esercizi 5 e 6
• Esercizio 39 · limiti con un parametro e con esponenti reali — esercizi 7 e 7 "bis"
• Esercizio 40 · forma 1^∞ e il numero e — esercizio 8
• Esercizio 41 · esponenziali, gerarchia degli infiniti e forma 0/0 — esercizi 9, 11 e 10

Lezione precedente: Lezione 14 · Teoremi di calcolo dei limiti di successioni · Lezione successiva: Lezione 16 · Asintoticità, o-piccolo, criteri del rapporto e della radice