Esercizio 42dimostrazione della gerarchia degli infiniti

Testo (Lezione 16, esercizio 12: dimostrazione di parte della gerarchia degli infiniti). Dimostrare che

• (a) $\displaystyle\lim_n \frac{n^\alpha}{a^n} = 0$ se $\alpha > 0$, $a > 1$;
• (b) $\displaystyle\lim_n \frac{a^n}{n!} = 0$ se $a > 1$ (la prof lo lascia da provare, la soluzione è in fondo al PDF);
• (c) $\displaystyle\lim_n \frac{n!}{n^n} = 0$.

Lo strumento

Tutti e tre sono forme $\frac{\infty}{\infty}$ in cui raccogliere non serve (non c'è un "termine più grande" da mettere in evidenza: sopra e sotto c'è un solo termine). Si usa il criterio del rapportoSe a_n > 0 definitivamente e a_(n+1)/a_n tende a un limite minore di 1, allora a_n tende a 0; se il limite è maggiore di 1, a_n tende a +∞.Criteri del rapporto e della radice per successioni →: si calcola il limite di $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ e, se è minore di $1$, la successione tende a $0$.

Come si calcola $a_{n+1}$: si sostituisce $n + 1$ al posto di ogni $n$ nella formula di $a_n$.

Perché il rapporto funziona bene qui: potenze con esponente $n$ e fattoriali si semplificano moltissimo nel rapporto tra due termini consecutivi: $\frac{a^{n+1}}{a^n} = a$ e $\frac{(n+1)!}{n!} = n + 1$.

(a) $\displaystyle\lim_n \frac{n^\alpha}{a^n} = 0$

Si pone $a_n = \frac{n^\alpha}{a^n}$, positivo per ogni $n \ge 1$. Allora $a_{n+1} = \frac{(n+1)^\alpha}{a^{n+1}}$ e

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^\alpha}{a^{n+1}} \cdot \frac{a^n}{n^\alpha} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^\alpha \cdot \frac{a^n}{a^n \cdot a} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^\alpha \cdot \frac1a$$

(dividere per una frazione è moltiplicare per la sua inversa; poi $a^{n+1} = a^n \cdot a$).

Limite. $\frac{n+1}{n} = 1 + \frac1n \to 1$, e la potenza "passa dentro": $\left(\frac{n+1}{n}\right)^\alpha \to 1^\alpha = 1$. Quindi

$$\lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac1a < 1 \qquad (\text{perché } a > 1)$$

Per il criterio del rapporto, $\lim_n \frac{n^\alpha}{a^n} = 0$ ∎.

In parole: passando da $n$ a $n + 1$ la potenza al numeratore cambia pochissimo (il fattore $\left(1 + \frac1n\right)^\alpha$ è quasi $1$), mentre l'esponenziale al denominatore si moltiplica sempre per $a > 1$. Alla lunga vince l'esponenziale.

(b) $\displaystyle\lim_n \frac{a^n}{n!} = 0$

Si pone $a_n = \frac{a^n}{n!} > 0$. Si ha $a_{n+1} = \frac{a^{n+1}}{(n+1)!}$ e, usando $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$ (definizione ricorsiva del fattorialeIl fattoriale di n + 1 è il fattoriale di n moltiplicato per n + 1.Fattoriale e coefficienti binomiali →):

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{a^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{a^n} = \frac{a^n \cdot a \cdot n!}{(n+1) \cdot n! \cdot a^n} = \frac{a}{n+1}$$

Limite. $a$ è fisso e $n + 1 \to +\infty$, quindi $\frac{a}{n+1} \to 0 < 1$. Per il criterio del rapporto, $\lim_n \frac{a^n}{n!} = 0$ ∎.

In parole: l'esponenziale si moltiplica sempre per lo stesso $a$; il fattoriale si moltiplica per $n + 1$, che diventa sempre più grande. Appena $n + 1 > a$, ogni passo fa diminuire il quoziente.

Esempio numerico ($a = 10$): $\frac{10^n}{n!}$ vale $10$ per $n = 1$, circa $2755{,}7$ per $n = 10$ (il massimo è intorno a $n = 9, 10$), circa $41{,}1$ per $n = 20$, circa $3{,}8 \cdot 10^{-3}$ per $n = 30$: prima cresce, poi crolla.

(c) $\displaystyle\lim_n \frac{n!}{n^n} = 0$

Si pone $a_n = \frac{n!}{n^n} > 0$. Si ha $a_{n+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}$ e

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{(n+1) \cdot n! \cdot n^n}{(n+1)^n \cdot (n+1) \cdot n!} = \frac{n^n}{(n+1)^n}$$

(si è scritto $(n+1)^{n+1} = (n+1)^n \cdot (n+1)$ e si sono semplificati $n + 1$ e $n!$). Quindi

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n} = \frac{1}{\left(1 + \frac1n\right)^n}$$

Limite. Per la definizione del numero di Neperoe è il limite di (1 + 1/n)^n.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →, il denominatore tende a $e$:

$$\lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac1e < 1 \qquad (\text{perché } e > 1)$$

Per il criterio del rapporto, $\lim_n \frac{n!}{n^n} = 0$ ∎.

In parole: $n! = 1 \cdot 2 \cdots n$ e $n^n = n \cdot n \cdots n$ hanno lo stesso numero di fattori, ma quelli di $n^n$ sono tutti uguali al più grande. Il rapporto è $\frac1n \cdot \frac2n \cdots \frac nn \le \frac1n$, che va a $0$ (questa è anche una dimostrazione alternativa con i carabinieri).

Riassunto

Errori comuni

• Sostituire $n + 1$ solo in una parte della formula (per esempio scrivere $a_{n+1} = \frac{(n+1)^\alpha}{a^n}$).
• Semplificare male i fattoriali: $\frac{(n+1)!}{n!} = n + 1$, non $\frac{n+1}{1}$ "perché si toglie il punto esclamativo".
• Dire che il limite della successione è $\frac1a$ (o $\frac1e$): quello è il limite del rapporto; la successione tende a $0$.