Esercizio 35limiti di quozienti raccogliendo il termine dominante

Testo (Lezione 14, esercizi 1 e 3). Calcolare

1. $\displaystyle\lim_n \frac{3n^3 - 2n^2 + n \sin\left(\frac1n\right)}{\sqrt3\,n^3 - 4n + 2\sqrt2}$
2. $\displaystyle\lim_n \frac{n^2 - 3n + 4(-1)^n \tanh(1 + n^4)}{2n^2 - 6n + 3e}$

Perché non si può usare subito l'algebra dei limiti

Il Teorema 1 sull'algebra dei limitiIl limite di somma, prodotto e quoziente è la somma, il prodotto e il quoziente dei limiti, purché questi siano finiti (e il denominatore non tenda a 0).Calcolo dei limiti di successioni → vale solo per successioni convergenti (limite finito). Qui numeratore e denominatore tendono a $+\infty$: il quoziente è della forma $\frac{\infty}{\infty}$, che è una forma indeterminataUn caso in cui conoscere i limiti dei pezzi non basta per conoscere il limite del risultato: va studiato con altri strumenti..

L'idea della prof: raccogliere la "successione più grande". Sopra e sotto si mette in evidenza il termine che cresce più in fretta (la potenza di $n$ con esponente più alto). Dentro le parentesi restano solo termini che tendono a $0$ e un $1$: quelle parentesi convergono a $1$, e su di esse il Teorema 1 si applica.

1. $\displaystyle\lim_n \frac{3n^3 - 2n^2 + n \sin\frac1n}{\sqrt3\,n^3 - 4n + 2\sqrt2}$

Passo 1: raccogliere

Al numeratore il termine più grande è $3n^3$; al denominatore $\sqrt3\,n^3$. Raccogliendoli (cioè dividendo ogni addendo per essi):

$$\frac{3n^3\left[1 - \dfrac{2n^2}{3n^3} + \dfrac{n \sin\frac1n}{3n^3}\right]}{\sqrt3\,n^3\left[1 - \dfrac{4n}{\sqrt3\,n^3} + \dfrac{2\sqrt2}{\sqrt3\,n^3}\right]} = \frac{3n^3\left[1 - \dfrac{2}{3n} + \dfrac{1}{3n^2}\sin\dfrac1n\right]}{\sqrt3\,n^3\left[1 - \dfrac{4}{\sqrt3\,n^2} + \dfrac{2\sqrt2}{\sqrt3\,n^3}\right]}$$

Controllo: moltiplicando di nuovo $3n^3$ per ciascun termine della parentesi si ritrova il numeratore di partenza: $3n^3 \cdot 1 = 3n^3$, $3n^3 \cdot \frac{2}{3n} = 2n^2$, $3n^3 \cdot \frac{1}{3n^2}\sin\frac1n = n\sin\frac1n$ ✓.

Passo 2: semplificare $n^3$

$n^3$ compare sopra e sotto e si semplifica (è $\ne 0$ per $n \ge 1$):

$$= \frac{3}{\sqrt3} \cdot \frac{1 - \frac{2}{3n} + \frac{1}{3n^2}\sin\frac1n}{1 - \frac{4}{\sqrt3\,n^2} + \frac{2\sqrt2}{\sqrt3\,n^3}}$$

Passo 3: il limite di ogni pezzo

• $\frac{2}{3n} \to 0$, $\frac{4}{\sqrt3\,n^2} \to 0$, $\frac{2\sqrt2}{\sqrt3\,n^3} \to 0$: sono costanti per $\frac{1}{n^\alpha}$ con $\alpha > 0$, che tende a $0$ (vedi limite delle potenze$n^\alpha$ tende a $+\infty$ se $\alpha > 0$, vale 1 se $\alpha = 0$, tende a 0 se $\alpha < 0$.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →).
• $\frac{1}{3n^2}\sin\frac1n \to 0$: $\frac{1}{3n^2} \to 0$ e $\sin\frac1n \to \sin 0 = 0$ (il seno è una funzione elementare e "passa dentro" il limite), e il prodotto di due successioni che tendono a $0$ tende a $0 \cdot 0 = 0$.

Quindi numeratore e denominatore della frazione rimasta tendono entrambi a $1 - 0 + 0 = 1$, e per il punto 5 del Teorema 1 (quoziente, con denominatore che tende a $1 \ne 0$):

$$\lim_n \frac{3n^3 - 2n^2 + n \sin\frac1n}{\sqrt3\,n^3 - 4n + 2\sqrt2} = \frac{3}{\sqrt3} \cdot \frac11 = \frac{3}{\sqrt3} = \sqrt3$$

(razionalizzando: $\frac{3}{\sqrt3} = \frac{3\sqrt3}{3} = \sqrt3 \approx 1{,}732$).

Verifica numerica. Con $n = 1000$ il quoziente vale circa $1{,}7309$, con $n = 10^5$ circa $1{,}73204$: si avvicina a $\sqrt3 \approx 1{,}73205$ ✓.

2. $\displaystyle\lim_n \frac{n^2 - 3n + 4(-1)^n \tanh(1 + n^4)}{2n^2 - 6n + 3e}$

La novità: un pezzo irregolare

Il termine $4(-1)^n \tanh(1 + n^4)$ non ha limite: $\tanh(1 + n^4)$ si avvicina a $1$, ma il fattore $(-1)^n$ lo fa saltare tra valori vicini a $4$ e valori vicini a $-4$. Il Teorema 1 non si può applicare a questo pezzo da solo. Però è limitato, e questo basterà.

Passo 1: raccogliere

Termine più grande: $n^2$ sopra, $2n^2$ sotto.

$$\frac{n^2\left[1 - \dfrac3n + \dfrac{1}{n^2} \cdot 4(-1)^n \tanh(1 + n^4)\right]}{2n^2\left[1 - \dfrac3n + \dfrac{3e}{2n^2}\right]} = \frac12 \cdot \frac{1 - \frac3n + \frac{1}{n^2} \cdot 4(-1)^n \tanh(1 + n^4)}{1 - \frac3n + \frac{3e}{2n^2}}$$

Passo 2: il pezzo irregolare tende a $0$

Si applica il Teorema 5, infinitesima per limitataSe a_n tende a 0 e b_n è limitata, allora il prodotto a_n b_n tende a 0, anche se b_n non ha limite.Calcolo dei limiti di successioni →:

• $a_n = \frac{1}{n^2} \to 0$ (è infinitesima);
• $b_n = 4(-1)^n \tanh(1 + n^4)$ è limitata, perché $$|b_n| = 4 \cdot |(-1)^n| \cdot |\tanh(1 + n^4)| \le 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4$$ (si usa $|xyz| = |x||y||z|$, $|(-1)^n| = 1$ e il fatto che la tangente iperbolicatanh x = sinh x / cosh x ha valori sempre compresi strettamente tra −1 e 1.Funzioni iperboliche → ha valori tra $-1$ e $1$).

Quindi $\frac{1}{n^2} \cdot 4(-1)^n \tanh(1 + n^4) \to 0$.

Passo 3: conclusione

Gli altri pezzi tendono a $0$ ($\frac3n$, $\frac{3e}{2n^2}$). Numeratore e denominatore della frazione rimasta tendono a $1$, quindi

$$\lim_n \frac{n^2 - 3n + 4(-1)^n \tanh(1 + n^4)}{2n^2 - 6n + 3e} = \frac12$$

Verifica numerica. Con $n = 1000$ il quoziente vale circa $0{,}49999996$ ✓.

Il metodo, riassunto

1. Si riconosce la forma $\frac{\infty}{\infty}$.
2. Si raccoglie sopra e sotto il termine che cresce più in fretta.
3. Si semplifica quello che si può.
4. Nelle parentesi: i termini "normali" tendono a $0$ per le potenze; quelli irregolari ma limitati, moltiplicati per una potenza negativa di $n$, tendono a $0$ per il Teorema 5.
5. Si conclude con il Teorema 1.

Errori comuni

• Dire che il limite non esiste perché c'è $(-1)^n$: il pezzo irregolare è "schiacciato" da $\frac{1}{n^2}$.
• Raccogliere un termine che non è il più grande (per esempio $n^2$ nell'esercizio 1): nelle parentesi resterebbe un pezzo che va a $+\infty$, e si ricadrebbe in una forma indeterminata.
• Dimenticare il coefficiente del termine raccolto: il risultato è il rapporto dei coefficienti ($\frac{3}{\sqrt3}$ e $\frac12$), non $1$.