Esercizio 32traslazioni e valori assoluti nei grafici

Testo (Lezioni 12 e 13, esercizio 10 del foglio). Data

$$f(x) = \begin{cases} e^{x-1} - 1 & x \ge 0 \\ x & x < 0 \end{cases}$$

disegnare i grafici di $f(x)$, $f(|x|)$, $|f(x)|$.

Passo 0: capire il testo

Funzione definita a tratti. La graffa dice che la regola per calcolare $f$ cambia a seconda di dove sta $x$: se $x \ge 0$ si usa $e^{x-1} - 1$, se $x < 0$ si usa semplicemente $x$. Il dominio è tutto $\mathbb{R}$ (ogni $x$ cade in uno dei due casi, e in ciascun caso la formula ha sempre senso).

L'idea dell'esercizio. Non si fanno conti punto per punto: si parte da grafici che si conoscono già (la retta $y = x$ e l'esponenziale $e^x$Funzione sempre positiva, strettamente crescente, che passa per $(0, 1)$.Esponenziale e logaritmo →) e si applicano le trasformazioni di graficiTraslazioni orizzontali e verticali, ribaltamenti dovuti al valore assoluto: si ottengono senza calcoli dal grafico di partenza.Composizione e operazioni tra funzioni → viste a lezione.

Passo 1: le due traslazioni (lezione 12)

Prima di disegnare $f$, la prof richiama due regole generali.

Traslazione orizzontale: da $f(x)$ a $f(x + a)$

Il grafico di $f(x + a)$ è quello di $f$ spostato orizzontalmente di $-a$.

Perché il segno meno. Sia $x_0$ un punto in cui conosciamo $f(x_0)$. La nuova funzione $g(x) = f(x + a)$ assume lo stesso valore $f(x_0)$ quando $x + a = x_0$, cioè in $x = x_0 - a$. Quindi ogni punto si sposta da $x_0$ a $x_0 - a$.

Esempio della prof. $y = \cosh x$ ha il minimo in $x = 0$; $y = \cosh(x + a)$ ha il minimo dove $x + a = 0$, cioè in $x = -a$. Con $a = 2$: il minimo va in $x = -2$, a sinistra.

Traslazione verticale: da $f(x)$ a $f(x) + a$

Il grafico di $f(x) + a$ è quello di $f$ spostato verticalmente di $a$: ogni valore aumenta di $a$, quindi ogni punto sale di $a$ (scende se $a < 0$).

Esempio della prof. $y = \sinh x$ passa per l'origine; $y = \sinh x + a$ passa per $(0, a)$.

Passo 2: il grafico di $f$

Tratto $x \ge 0$: $y = e^{x-1} - 1$

Lo si costruisce in tre passi, come nel disegno della prof:

1. $y_1 = e^x$: l'esponenziale, passa per $(0, 1)$.
2. $y_2 = e^{x-1}$: è $y_1$ calcolata in $x - 1$, cioè $f(x + a)$ con $a = -1$. Per il passo 1 è una traslazione orizzontale di $-a = +1$: il grafico va a destra di $1$, e il punto $(0, 1)$ diventa $(1, 1)$.
3. $y_3 = e^{x-1} - 1$: è $y_2 + a$ con $a = -1$, traslazione verticale di $-1$: tutto scende di $1$, e il punto $(1, 1)$ diventa $(1, 0)$.

Di questo grafico teniamo solo la parte con $x \ge 0$ (l'altra parte non c'entra con $f$). Due valori utili:

• in $x = 0$: $f(0) = e^{-1} - 1 = \frac1e - 1 \approx -0{,}632$ (il punto di partenza, compreso perché la condizione è $x \ge 0$);
• in $x = 1$: $f(1) = e^0 - 1 = 0$ (dove il grafico taglia l'asse $x$).

Per $x > 1$ l'esponente $x - 1$ è positivo, $e^{x-1} > 1$ e quindi $f(x) > 0$; per $0 \le x < 1$ invece $e^{x-1} < 1$ e $f(x) < 0$. Questo si deduce dalla monotonia di $e^X$Base $e > 1$: l'esponenziale è strettamente crescente, quindi $e^X < 1 = e^0$ per $X < 0$ e $e^X > 1$ per $X > 0$.Esponenziale e logaritmo →.

Tratto $x < 0$: $y = x$

È la bisettrice del primo e terzo quadrante, di cui teniamo solo la parte con $x < 0$: una semiretta che scende verso il basso a sinistra. Avvicinandosi a $0$ da sinistra i valori si avvicinano a $0$, ma il punto $(0, 0)$ non fa parte del grafico (lì vale l'altra formula).

Il grafico completo

Osservazione: in $x = 0$ c'è un salto. Da sinistra i valori si avvicinano a $0$, ma $f(0) \approx -0{,}632$. Il grafico "non si può disegnare senza staccare la penna" (concetto che diventerà la discontinuitàUn punto in cui il grafico ha un salto o un buco: lì la funzione non è continua. Se ne parlerà nel capitolo sulla continuità.).

Passo 3: il grafico di $f(|x|)$

Calcolo della formula

Per ogni $x \in \mathbb{R}$ il numero $|x|$ è $\ge 0$. Quindi per calcolare $f(|x|)$ si usa sempre il primo caso della graffa (quello per argomento $\ge 0$), con $|x|$ al posto di $x$:

$$f(|x|) = e^{|x| - 1} - 1 \qquad \forall x \in \mathbb{R}$$

Il secondo caso ($y = x$ per $x < 0$) non viene mai usato: l'argomento di $f$ non è mai negativo.

Come si disegna

• Per $x \ge 0$: $|x| = x$, quindi $f(|x|) = f(x)$. Il grafico è identico a quello di $f$.
• Per $x < 0$: $f(|x|) = f(-x)$, cioè il valore che $f$ ha nel punto opposto (positivo).

Quindi: si tiene la parte di $\Gamma_f$ con $x \ge 0$ e la si ribalta rispetto all'asse $y$ (come in uno specchio). La parte di $\Gamma_f$ con $x < 0$ (la semiretta) sparisce.

$f(|x|)$ è pari. Infatti $f(|-x|) = f(|x|)$ perché $|-x| = |x|$. È il grafico simmetrico rispetto all'asse $y$Una funzione pari ha $g(-x) = g(x)$: i punti $(x, g(x))$ e $(-x, g(x))$ stanno alla stessa altezza.Funzioni monotone, pari e dispari → che si vede nel disegno ("PARI!" nella nota della prof).

Valori: minimo in $x = 0$ con valore $\frac1e - 1 \approx -0{,}632$; zeri in $x = \pm 1$.

Passo 4: il grafico di $|f(x)|$

Calcolo della formula

Per definizione di valore assolutoIl modulo di $A$ vale $A$ se $A \ge 0$ e $-A$ se $A < 0$: il risultato non è mai negativo.Valore assoluto (modulo) →:

$$|f(x)| = \begin{cases} f(x) & \text{se } f(x) \ge 0 \\ -f(x) & \text{se } f(x) < 0 \end{cases}$$

Bisogna quindi sapere dove $f$ è negativa. Dal passo 2:

Come si disegna

Si tiene ciò che sta sopra l'asse $x$ (o sull'asse) e si ribalta verso l'alto ciò che sta sotto:

• la semiretta $y = x$ per $x < 0$ diventa $y = -x$: sale andando verso sinistra;
• l'arco tra $x = 0$ e $x = 1$ (che stava sotto l'asse) viene ribaltato: parte da $|f(0)| = 1 - \frac1e \approx 0{,}632$ e scende fino a $0$ in $x = 1$;
• per $x \ge 1$ non cambia nulla.

Il salto in $x = 0$ resta: da sinistra i valori si avvicinano a $0$, mentre $|f(0)| \approx 0{,}632$.

Errori comuni

• Spostare $f(x + a)$ nella direzione di $a$. Con $a > 0$ il grafico va a sinistra: il valore che prima si aveva in $x_0$ ora si ha in $x_0 - a$.
• Usare il secondo caso della graffa per $f(|x|)$. L'argomento $|x|$ non è mai negativo: vale sempre il primo caso.
• Confondere $f(|x|)$ con $|f(x)|$. Nel primo il modulo agisce sulla $x$ (ribaltamento a destra-sinistra, risultato pari), nel secondo sul valore (ribaltamento in alto-basso, risultato $\ge 0$).
• Unire i due tratti in $x = 0$: $f$ ha un salto, che resta anche in $|f(x)|$.