Calcolo dei limiti di successioni

Lezioni 13-15. Prerequisiti: Limiti di successioniUna successione ha limite l se, da un certo indice in poi, i suoi termini stanno vicini a l quanto si vuole; definizioni con epsilon, limiti infiniti e unicità.Limiti di successioni →, Successioni limitate e monotoneOgni successione convergente è limitata (non viceversa); ogni successione monotona ha limite, uguale al sup se crescente e all'inf se decrescente.Successioni limitate e monotone →.

Finora ogni limite si dimostrava con la definizione (si sceglie $N$ in funzione di $\varepsilon$, come nell'Esercizio 29 · limiti di 1/n e di n con la definizione). È un lavoro lungo anche per successioni semplici. I teoremi di calcolo permettono di ottenere il limite di successioni complicate a partire da quello di successioni semplici, come si fa con le operazioni.

Premessa: tre fatti che si usano sempre

1. Basta arrivare a "$< C\varepsilon$"

Per dimostrare che $|a_n - \ell| < \varepsilon$ definitivamente (per ogni $\varepsilon > 0$), basta dimostrare che

$$|a_n - \ell| < C\varepsilon \quad \text{definitivamente, per ogni } \varepsilon > 0$$

dove $C > 0$ è un numero fissato qualsiasi (non dipende da $n$ né da $\varepsilon$).

Perché. La disuguaglianza "$< C\varepsilon$" vale per ogni $\varepsilon > 0$. Dato un $\varepsilon$, la si usa con $\varepsilon' = \frac{\varepsilon}{C}$ al posto di $\varepsilon$ (è ancora un numero positivo): si ottiene $|a_n - \ell| < C \cdot \frac{\varepsilon}{C} = \varepsilon$ definitivamente. Nelle dimostrazioni dei teoremi capita spesso di arrivare a $2\varepsilon$ o $3\varepsilon$: va benissimo così.

2. $\lim_n a_n = 0 \iff \lim_n |a_n| = 0$

Perché. Scriviamo le due definizioni. $\lim_n |a_n| = 0$ vuol dire: per ogni $\varepsilon > 0$, definitivamente

$$\big|\,|a_n| - 0\,\big| < \varepsilon$$

Ma $\big|\,|a_n| - 0\,\big| = \big|\,|a_n|\,\big| = |a_n| = |a_n - 0|$, e "$|a_n - 0| < \varepsilon$ definitivamente" è proprio la definizione di $\lim_n a_n = 0$. Le due condizioni sono la stessa disuguaglianza scritta in due modi.

A cosa serve. Per le successioni con segni che cambiano (per esempio con $(-1)^n$) si studia il modulo, che è positivo e spesso più semplice. Esempio: $\left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac1n \to 0$, quindi $\frac{(-1)^n}{n} \to 0$ (vedi Esercizio 34 · max e min di (-1)ⁿ/n).

Attenzione: vale solo con limite $0$. Per esempio $|(-1)^n| = 1 \to 1$, ma $(-1)^n$ non ha limite.

3. Anticipazione: le funzioni elementari "passano dentro" il limite

Se:

• $(a_n)_{n \ge n_0}$ ha tutti i termini nel dominio di $f$,
• $\lim_n a_n = \ell$ con $\ell$ nel dominio di $f$,
• $f$ è una delle funzioni elementari: potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni iperboliche e loro inverse, funzioni trigonometriche e loro inverse, valore assoluto,

allora

$$\lim_n f(a_n) = f\left(\lim_n a_n\right) = f(\ell)$$

Si dimostrerà più avanti: è la proprietà delle funzioni continue, e le funzioni elementari lo sono.

Esempio. $\displaystyle\lim_n \sin\left(\frac1n\right) = \sin\left(\lim_n \frac1n\right) = \sin 0 = 0$.

Anche con i limiti infiniti si usa la stessa idea, leggendo il comportamento di $f$ dal suo grafico (quello che succede "agli estremi" del dominio):

• $\displaystyle\lim_n e^n = e^{\lim_n n} = e^{+\infty} = +\infty$: il grafico di $e^x$ sale senza limite verso destra (vedi Esponenziale e logaritmoLa funzione esponenziale a^x (base positiva diversa da 1) e la sua inversa, il logaritmo in base a, con grafici e proprietà.Esponenziale e logaritmo →);
• $\displaystyle\lim_n \log\left(\frac1n\right) = \log\left(\lim_n \frac1n\right) = \log(0^+) = -\infty$: il grafico di $\log x$ scende senza limite avvicinandosi a $0$ da destra. Qui serve sapere che $\frac1n \to 0$ per eccesso ($0^+$), perché il logaritmo è definito solo a destra di $0$.

Scritture come $e^{+\infty} = +\infty$ e $\log(0^+) = -\infty$ sono abbreviazioni per "il limite dei valori di $e^x$ quando $x$ diventa grande è $+\infty$", non vere operazioni tra numeri.

Teorema 1: algebra dei limiti (caso convergente)

Teorema. Siano $(a_n)$ e $(b_n)$ due successioni convergenti, con $\lim_n a_n = a \in \mathbb{R}$ e $\lim_n b_n = b \in \mathbb{R}$. Allora:

1. $\lim_n (a_n + b_n) = a + b$;
2. $\lim_n (a_n - b_n) = a - b$;
3. per ogni $c \in \mathbb{R}$, $\lim_n c\,a_n = c\,a$;
4. $\lim_n (a_n \cdot b_n) = a \cdot b$;
5. se $b \ne 0$ (si vedrà che allora $b_n \ne 0$ definitivamente, quindi la frazione ha senso da un certo punto in poi): $$\lim_n \frac{1}{b_n} = \frac1b, \qquad \lim_n \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}$$

In parole: il limite della somma è la somma dei limiti, e lo stesso per differenza, multiplo, prodotto e quoziente, purché i limiti siano finiti (e, per il quoziente, il denominatore non tenda a $0$).

Esempio. $a_n = 3 + \frac2n$: $\lim_n 3 = 3$ (successione costante) e $\lim_n \frac2n = 2 \cdot \lim_n \frac1n = 0$ (punto 3), quindi $\lim_n a_n = 3 + 0 = 3$ (punto 1).

Dimostrazione del punto 4 (prodotto)

Lezione 14. Bisogna dimostrare che per ogni $\varepsilon > 0$ (basta $\varepsilon < 1$, per la proprietà "$\varepsilon$ piccolo a piacere") esiste $N$ con

$$|a_n b_n - ab| < C\varepsilon \quad \forall n > N$$

per qualche costante $C > 0$ (per la premessa 1 basta questo).

Passo 1: le due definizioni. Con questo $\varepsilon$:

1. esiste $N_1$ con $|a_n - a| < \varepsilon$ per ogni $n > N_1$;
2. esiste $N_2$ con $|b_n - b| < \varepsilon$ per ogni $n > N_2$.

Preso $N = \max\{N_1, N_2\}$, per $n > N$ valgono entrambe (si prende il più grande dei due indici perché da lì in poi si è oltre tutti e due).

Passo 2: il trucco "aggiungo e tolgo". Si somma e si sottrae $a_n b$, che non cambia il valore ma fa comparire le differenze $b_n - b$ e $a_n - a$, che sappiamo piccole:

$$|a_n b_n - ab| = |(a_n b_n - a_n b) + (a_n b - ab)| \le |a_n|\,|b_n - b| + |b|\,|a_n - a|$$

(si è usata la disuguaglianza triangolareIl modulo di una somma è al più la somma dei moduli.Valore assoluto (modulo) → e poi $|xy| = |x||y|$, raccogliendo $a_n$ nel primo pezzo e $b$ nel secondo).

Passo 3: tenere sotto controllo $|a_n|$. Per $n > N$:

$$|a_n| = |a_n - a + a| \le |a_n - a| + |a| < \varepsilon + |a| < 1 + |a|$$

(qui serve $\varepsilon < 1$). È lo stesso fatto delle successioni convergenti, che sono limitateOgni successione convergente è limitata (Teorema 2 della lezione 13).Successioni limitate e monotone →.

Passo 4: conclusione. Per $n > N$:

$$|a_n b_n - ab| < (1 + |a|)\,\varepsilon + |b|\,\varepsilon = \underbrace{(1 + |a| + |b|)}_{C \,>\, 0}\,\varepsilon$$

$C$ non dipende né da $n$ né da $\varepsilon$: è la definizione di $\lim_n a_n b_n = ab$ ∎.

Come si usa: raccogliere il termine "più grande"

Nei quozienti di polinomi in $n$ numeratore e denominatore tendono a $+\infty$, e il Teorema 1 non si può applicare subito. Si raccoglie la potenza più alta sopra e sotto: quello che resta tra parentesi converge, e lì il Teorema 1 funziona. Esempio:

$$\lim_n \frac{3n^3 - 2n^2 + n \sin\frac1n}{\sqrt3\,n^3 - 4n + 2\sqrt2} = \lim_n \frac{3n^3\left[1 - \frac{2}{3n} + \frac{1}{3n^2}\sin\frac1n\right]}{\sqrt3\,n^3\left[1 - \frac{4}{\sqrt3\,n^2} + \frac{2\sqrt2}{\sqrt3\,n^3}\right]} = \frac{3}{\sqrt3} = \sqrt3$$

Svolto in dettaglio nell'Esercizio 35 · limiti di quozienti raccogliendo il termine dominante.

Limite del Teorema 1. Non dice nulla se una delle successioni è irregolare (come $\cos n$) o divergente. Per questi casi servono i teoremi seguenti.

Teorema 2: permanenza del segno (prima forma)

Teorema.

• Se $\lim_n a_n = a > 0$ oppure $+\infty$, allora $a_n > 0$ definitivamente.
• Se $\lim_n a_n = a < 0$ oppure $-\infty$, allora $a_n < 0$ definitivamente.

In parole: se il limite è positivo, da un certo punto in poi anche i termini sono positivi. Il segno del limite "si trasmette" ai termini.

Dimostrazione (per $a \in \mathbb{R}$, $a > 0$). Si sceglie un $\varepsilon$ con $0 < \varepsilon < a$ (per esempio $\varepsilon = \frac{a}{2}$). Per la definizione di limite esiste $N$ con $|a_n - a| < \varepsilon$, cioè $a - \varepsilon < a_n < a + \varepsilon$, per ogni $n > N$. Ma $a - \varepsilon > 0$ per come si è scelto $\varepsilon$, quindi

$$0 < a - \varepsilon < a_n \quad \forall n > N$$

∎. (Per $+\infty$: si usa la definizione con $L = 0$.) Idea: la striscia attorno ad $a$ si sceglie abbastanza stretta da stare tutta sopra lo zero.

Conseguenza importante. Se $\lim_n b_n = b \ne 0$, allora $b_n \ne 0$ definitivamente: se $b > 0$ i termini sono definitivamente positivi, se $b < 0$ definitivamente negativi. È quello che serve per dare senso a $\frac{1}{b_n}$ nel punto 5 del Teorema 1.

Teorema 3: permanenza del segno (seconda forma)

Teorema.

1. Se $\lim_n a_n = a$ e $a_n \ge 0$ definitivamente, allora $a \ge 0$.
2. Se $\lim_n a_n = a$ e $a_n \le 0$ definitivamente, allora $a \le 0$.
3. Se $\lim_n a_n = a \in \mathbb{R}$, $\lim_n b_n = b \in \mathbb{R}$ e $a_n \le b_n$ definitivamente, allora $a \le b$.

È il "viceversa" del Teorema 2: dal segno dei termini si deduce il segno del limite. Il punto 3 dice che le disuguaglianze deboli passano al limite.

Attenzione: le disuguaglianze strette non passano al limite. Se $a_n > 0$ definitivamente si può solo concludere $a \ge 0$, non $a > 0$. Esempio: $\frac1n > 0$ per ogni $n \ge 1$, ma $\lim_n \frac1n = 0$.

Dimostrazione.

1. Per assurdo: sia $a_n \ge 0$ definitivamente ma $a < 0$. Per il Teorema 2, da $a < 0$ segue $a_n < 0$ definitivamente. Allora da un certo punto in poi $a_n$ sarebbe sia $\ge 0$ sia $< 0$: assurdo ⚡.
2. Allo stesso modo.
3. Si pone $c_n = b_n - a_n$. Da $a_n \le b_n$ definitivamente segue $c_n \ge 0$ definitivamente. Per il Teorema 1 (differenza), $\lim_n c_n = b - a$. Per il punto 1, $b - a \ge 0$, cioè $a \le b$ ∎.

Teorema 4: del confronto (o dei due carabinieri)

Teorema. Siano $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$ tali che

• $\lim_n a_n = \lim_n b_n = \ell \in \mathbb{R}$;
• $a_n \le c_n \le b_n$ definitivamente.

Allora esiste anche $\lim_n c_n = \ell$.

Il nome. $a_n$ e $b_n$ sono i due carabinieri che "scortano" $c_n$: se entrambi vanno verso $\ell$, anche $c_n$, che sta in mezzo, è costretta ad andarci.

Attenzione alla differenza con il Teorema 3. Qui non si sa in partenza che $c_n$ ha limite: il teorema lo dimostra.

Dimostrazione. Fissato $\varepsilon > 0$:

1. esiste $N_1$ con $\ell - \varepsilon < a_n < \ell + \varepsilon$ per ogni $n > N_1$;
2. esiste $N_2$ con $\ell - \varepsilon < b_n < \ell + \varepsilon$ per ogni $n > N_2$;
3. esiste $N_3$ con $a_n \le c_n \le b_n$ per ogni $n > N_3$.

Con $N = \max\{N_1, N_2, N_3\}$, per ogni $n > N$ valgono tutte e tre, quindi

$$\ell - \varepsilon \overset{1}{<} a_n \overset{3}{\le} c_n \overset{3}{\le} b_n \overset{2}{<} \ell + \varepsilon$$

cioè $|c_n - \ell| < \varepsilon$: è la definizione di $\lim_n c_n = \ell$ ∎.

A cosa serve. A calcolare limiti con pezzi irregolari ma limitati, come $\cos n$ o $\sin n$, che da soli non hanno limite. Esempio nell'Esercizio 36 · limite con cos n, carabinieri e infinitesima per limitata.

Da ricordare: $\nexists \lim_n \cos n$ e $\nexists \lim_n \sin n$. Più in generale, se $f$ è periodica e non costante, $\lim_n f(n)$ non esiste (i valori continuano a oscillare).

Teorema 5: infinitesima per limitata

Teorema. Se $(a_n)$ è infinitesima ($\lim_n a_n = 0$) e $(b_n)$ è limitata (esiste $M > 0$ con $|b_n| \le M$ per ogni $n$), allora

$$\lim_n a_n b_n = 0$$

In parole: una cosa che va a zero moltiplicata per una cosa che non scappa all'infinito va a zero, anche se la seconda oscilla senza avere limite.

Dimostrazione. Per la premessa 2, basta dimostrare $\lim_n |a_n b_n| = 0$. Si ha

$$0 \le |a_n b_n| = |a_n|\,|b_n| \le M\,|a_n|$$

La successione costante $0$ tende a $0$; anche $M|a_n| \to 0$ (perché $|a_n| \to 0$ per la premessa 2, e poi Teorema 1 punto 3). Per il Teorema 4 (carabinieri $0$ e $M|a_n|$), $\lim_n |a_n b_n| = 0$, cioè $\lim_n a_n b_n = 0$ ∎.

Esempi. $\frac1n \cdot 2\cos n \to 0$ perché $\frac1n \to 0$ e $|2\cos n| \le 2$. Oppure $\frac{1}{n^2} \cdot 4(-1)^n \tanh(1 + n^4) \to 0$, perché $|4(-1)^n \tanh(1 + n^4)| \le 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4$ ($\tanh$ sta tra $-1$ e $1$La tangente iperbolica ha valori in (−1, 1).Funzioni iperboliche →).

Teorema 6: algebra parziale degli infiniti

I teoremi precedenti non permettono di avere come addendi o fattori successioni divergenti (che vanno a $\pm\infty$) o illimitate. Per queste c'è il teorema seguente.

Teorema.

(A) Se $\lim_n a_n = +\infty$, allora:

1. $\lim_n (a_n + b_n) = +\infty$ se $b_n \ge M$ definitivamente, per qualche $M \in \mathbb{R}$ (cioè se $b_n$ è definitivamente inferiormente limitata);
2. $\lim_n (a_n \cdot b_n) = \begin{cases} +\infty & \text{se } b_n \ge M > 0 \text{ definitivamente} \\ -\infty & \text{se } b_n \le M < 0 \text{ definitivamente} \end{cases}$

(B) Se $\lim_n a_n = -\infty$, allora:

1. $\lim_n (a_n + b_n) = -\infty$ se $b_n \le M$ definitivamente, per qualche $M \in \mathbb{R}$;
2. $\lim_n (a_n \cdot b_n) = \begin{cases} -\infty & \text{se } b_n \ge M > 0 \text{ definitivamente} \\ +\infty & \text{se } b_n \le M < 0 \text{ definitivamente} \end{cases}$

Il senso. Per la somma: a una cosa che va a $+\infty$ si può aggiungere qualunque cosa che non vada "troppo giù" (che resti sopra un livello fisso $M$). Per il prodotto: la si può moltiplicare per qualunque cosa che resti lontana da zero con segno fisso.

Casi particolari (quando $b_n$ ha limite $b \in \mathbb{R}$ oppure $\pm\infty$), che si scrivono in forma abbreviata:

Ma il teorema è più forte della tabella: vale anche se $b_n$ è irregolare. Esempi: $8n^2 + 2n - 5\sin(n^3) \to +\infty$, perché $8n^2 + 2n \to +\infty$ e $-5\sin(n^3) \ge -5$ (punto A1, con $M = -5$); $n^2(2 - \cos n) \to +\infty$, perché $2 - \cos n \ge 2 - 1 = 1 > 0$ (punto A2, con $M = 1$). Vedi l'Esercizio 37 · algebra degli infiniti e forme indeterminate.

Dimostrazione di (A1). Sia $b_n \ge M$ definitivamente. Fissato $L \in \mathbb{R}$, si usa la definizione di $\lim_n a_n = +\infty$ con il livello $L' = L - M$: esiste $N$ (che si può prendere anche oltre l'indice da cui vale $b_n \ge M$) tale che $a_n > L - M$ per ogni $n > N$. Allora, per $n > N$,

$$a_n + b_n > (L - M) + M = L$$

che è la definizione di $\lim_n (a_n + b_n) = +\infty$ ∎. (Perché $L - M$: si "chiede di più" ad $a_n$, esattamente quanto basta a compensare il peggior valore possibile di $b_n$.)

Forme indeterminate

Restano esclusi dal Teorema 6 alcuni casi, le forme indeterminate, in cui conoscere i limiti dei pezzi non basta per conoscere il limite del risultato. Si scrivono in forma sintetica:

$$+\infty - \infty, \qquad \pm\infty \cdot 0, \qquad \frac{\pm\infty}{\pm\infty}, \qquad \frac00$$

(e ce ne sono altre, che si vedranno con le potenze). "Indeterminata" non vuol dire che il limite non esiste: vuol dire che dipende dal caso e va studiato con altri strumenti.

Esempi di cose che (ancora) non sappiamo fare:

• $\lim_n \left(n - \sqrt[3]{n^3 + 6n + 1}\right)$: è $+\infty - \infty$;
• $\lim_n \left(n - \sqrt[3]{n^3 + n^3 \sin n + 6n + 1}\right)$: è $+\infty + b_n$ con $b_n$ irregolare e non inferiormente limitata, quindi il punto A1 non si applica;
• $\lim_n n \sin\frac1n$: è $+\infty \cdot 0$;
• $\lim_n n^2\left(\frac12 - \cos n\right)$: è $+\infty \cdot b_n$ con $b_n$ che oscilla tra valori positivi e negativi, quindi non è né $\ge M > 0$ né $\le M < 0$ definitivamente, e il punto A2 non si applica.

Da dove vengono $\frac{\infty}{\infty}$ e $\frac00$. Un quoziente è un prodotto per il reciproco: $\frac{a_n}{b_n} = a_n \cdot \frac{1}{b_n}$. Se $a_n, b_n \to +\infty$, allora $\frac{1}{b_n} \to 0$ (Teorema 7) e si ricade in $+\infty \cdot 0$. Se $a_n, b_n \to 0^+$, allora $\frac{1}{b_n} \to +\infty$ e di nuovo si ha $+\infty \cdot 0$.

Teorema 7: del reciproco

Teorema.

In forma abbreviata: $\frac{1}{\pm\infty} = 0^\pm$ e $\frac{1}{0^\pm} = \pm\infty$.

Attenzione: $\frac10$ senza segno non ha senso. Se $a_n \ne 0$ definitivamente e $\lim_n a_n = 0$, ma il limite non è né $0^+$ né $0^-$, allora $\lim_n \frac{1}{a_n}$ non esiste. Esempio: $a_n = \frac{(-1)^n}{n} \to 0$ cambiando segno a ogni passo; $\frac{1}{a_n} = (-1)^n n$ vale $n$ sui pari (tende a $+\infty$) e $-n$ sui dispari (tende a $-\infty$): due sottosuccessioni con limiti diversi, quindi il limite non esiste (vedi SottosuccessioniUna sottosuccessione si ottiene prendendo infiniti termini di una successione con indici crescenti; se due sottosuccessioni hanno limiti diversi, il limite non esiste.Sottosuccessioni →).

Teorema 8: confronto per le successioni divergenti

Lezione 15. È la versione "con un carabiniere solo" del Teorema 4, per i limiti infiniti.

Teorema. Siano $(a_n)$, $(b_n)$ con $a_n \le b_n$ definitivamente.

1. Se $\lim_n a_n = +\infty$, allora $\lim_n b_n = +\infty$.
2. Se $\lim_n b_n = -\infty$, allora $\lim_n a_n = -\infty$.

In parole: chi sta sopra una successione che va a $+\infty$ ci va anche lui; chi sta sotto una successione che va a $-\infty$ ci va anche lui. (Qui basta una sola stima, perché verso $+\infty$ non c'è un "soffitto" da rispettare.)

Dimostrazione di 1. Fissato $L \in \mathbb{R}$, esiste $N_1$ con $a_n > L$ per $n > N_1$, ed esiste $N_2$ con $a_n \le b_n$ per $n > N_2$. Per $n > \max\{N_1, N_2\}$:

$$b_n \ge a_n > L$$

che è la definizione di $\lim_n b_n = +\infty$ ∎.

Esempio. $n^2(2 - \cos n) \ge n^2 \cdot 1 = n^2 \to +\infty$, quindi $n^2(2 - \cos n) \to +\infty$. Oppure, per $a > 1$, $a^n \ge 1 + n(a - 1) \to +\infty$ (disuguaglianza di Bernoulli), quindi $a^n \to +\infty$ (vedi Limiti notevoli e gerarchia degli infinitiI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali e la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →).

Errori comuni

• Applicare il Teorema 1 con un limite infinito o inesistente: per esempio "$\lim (n \cdot \frac1n) = \lim n \cdot \lim \frac1n = \infty \cdot 0 = 0$" è sbagliato (il limite è $1$, e $\infty \cdot 0$ è indeterminata).
• Passare al limite in una disuguaglianza stretta: da $a_n > 0$ segue solo $a \ge 0$.
• Usare i carabinieri senza che i due carabinieri abbiano lo stesso limite.
• Scrivere $\lim \cos n =$ qualcosa: non esiste. Però $\frac{\cos n}{n} \to 0$ (infinitesima per limitata).
• Scrivere $\frac{1}{0} = \infty$ senza controllare il segno con cui si va a zero.