Esercizio 106ordine di infinito al variare di α

Testo (Lezione 32, esercizio 6 del foglio). Per ogni valore di $\alpha \in \mathbb{R}$, determinare l'ordine di infinito/infinitesimo di

$$f(x) = e^{\frac1x} \cdot x^4 \cdot \left[\frac1x - \arctan\left(\frac{1}{x^\alpha}\right)\right] \qquad \text{per } x \to +\infty$$

Che cosa si cerca

Per $x \to +\infty$, si dice che $f$ è un infinito di ordine $\beta$$f(x) \sim c\,x^\beta$ con $c \neq 0$ e $\beta > 0$: $f$ va all'infinito "come $x^\beta$". Se invece $f \sim c\,x^{-\beta}$ con $\beta > 0$, $f$ è un infinitesimo di ordine $\beta$. se $f(x) \sim c\,x^\beta$ con $c \neq 0$ e $\beta > 0$. Bisogna quindi trovare, per ogni $\alpha$, una funzione del tipo $c\,x^\beta$ asintotica a $f$. Si procede fattore per fattore, perché in un prodotto ogni fattore si può sostituire con un suo asintotico.

Fattore $F_1 = e^{1/x}$

$\frac1x \to 0$, quindi $e^{1/x} \to e^0 = 1$: $F_1 \sim 1$ (non influisce sull'ordine).

Fattore $F_2 = x^4$

È già una potenza di $x$.

Fattore $F_3 = \frac1x - \arctan\left(\frac{1}{x^\alpha}\right)$: il punto delicato

Attenzione. Non è vero che $\arctan\left(\frac1{x^\alpha}\right) = \frac{1}{x^\alpha} - \frac13 \cdot \frac{1}{x^{3\alpha}} + o\left(\frac{1}{x^{3\alpha}}\right)$ per ogni $\alpha$! Lo sviluppo $\arctan y = y - \frac{y^3}{3} + o(y^3)$ (Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli →) vale per $y \to 0$, e $y = \frac{1}{x^\alpha} = x^{-\alpha}$ tende a $0$ solo se $\alpha > 0$. Bisogna distinguere tre casi.

Caso $\alpha < 0$

Allora $-\alpha > 0$ e $\frac{1}{x^\alpha} = x^{-\alpha} \to +\infty$; l'arcotangente tende a $\frac\pi2$ (il suo asintoto orizzontale$\arctan t \to \pi/2$ per $t \to +\infty$ e $\to -\pi/2$ per $t \to -\infty$. a $+\infty$, vedi Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente.Funzioni trigonometriche e loro inverse →). Siccome anche $\frac1x \to 0$:

$$\lim_{x \to +\infty} F_3 = 0 - \frac\pi2 = -\frac\pi2 \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad F_3 \sim -\frac\pi2$$

(una funzione che tende a un numero $\ell \neq 0$ è asintotica a $\ell$).

Caso $\alpha = 0$

$x^0 = 1$, quindi $\arctan(1) = \frac\pi4$ costante:

$$\lim_{x \to +\infty} F_3 = 0 - \frac\pi4 = -\frac\pi4 \quad \Longrightarrow \quad F_3 \sim -\frac\pi4$$

Caso $\alpha > 0$

Ora $y = \frac{1}{x^\alpha} \to 0$ e lo sviluppo si può usare:

$$F_3 = \frac1x - \frac{1}{x^\alpha} + \frac13 \cdot \frac{1}{x^{3\alpha}} + o\!\left(\frac{1}{x^{3\alpha}}\right)$$

Chi "vince" tra $\frac1x$ e $\frac1{x^\alpha}$ dipende da $\alpha$: per $x \to +\infty$, tra due potenze negative di $x$ è più grande quella con l'esponente più piccolo in modulo (va a zero più lentamente).

• $0 < \alpha < 1$: $\frac1{x^\alpha}$ va a zero più lentamente di $\frac1x$, quindi domina. Gli altri termini ($\frac1x$, $\frac{1}{x^{3\alpha}}$) sono più piccoli: $F_3 \sim -\frac{1}{x^\alpha}$.
• $\alpha = 1$: $\frac1x - \frac1x = 0$, i primi due termini si cancellano, e resta il terzo: $F_3 = \frac13 \cdot \frac1{x^3} + o\left(\frac1{x^3}\right) \sim \frac13 \cdot \frac{1}{x^3}$. (Qui si vede perché serviva il termine $-\frac{y^3}{3}$ dello sviluppo: senza, avremmo ottenuto $0 + o(\ldots)$, cioè nulla.)
• $\alpha > 1$: ora $\frac1x$ va a zero più lentamente di $\frac{1}{x^\alpha}$, quindi domina: $F_3 \sim \frac1x$.

Mettendo insieme

$f \sim 1 \cdot x^4 \cdot F_3$:

Nel caso $0 < \alpha < 1$ l'esponente $4 - \alpha$ sta tra $3$ e $4$, quindi è positivo: è sempre un infinito. In nessun caso $f$ è infinitesima.

Verifica numerica (Python, $x = 10^8$): il rapporto tra $f$ e l'asintotico della tabella vale $1{,}0000$ in tutti i casi provati ($\alpha = -1, 0, \frac12, 1, 2$) ✓.

Errori comuni

• Usare lo sviluppo dell'arcotangente per ogni $\alpha$ (vedi l'attenzione sopra): per $\alpha \le 0$ l'argomento non va a zero.
• Fermarsi a $\arctan y = y + o(y)$ nel caso $\alpha = 1$: si otterrebbe $F_3 = o\left(\frac1x\right)$, che non permette di trovare l'ordine.
• Confondere quale potenza negativa domina: per $x \to +\infty$, $\frac{1}{x^{1/2}}$ è più grande di $\frac1x$ (per $x = 100$: $0{,}1$ contro $0{,}01$).