Esercizio 29limiti di 1/n e di n con la definizione

Testo (Lezione 12, esercizi 1 e 2). Dimostrare, con la definizione, che

1. $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac1n = 0$;
2. $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n = +\infty$.

1. $\lim_n \frac1n = 0$

Cosa bisogna dimostrare

Per la definizione di limite finito$\lim a_n = \ell$ se per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un indice $N$ dopo il quale tutti i termini distano da $\ell$ meno di $\varepsilon$.Limiti di successioni → con $a_n = \frac1n$ e $\ell = 0$:

$$\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists N \ge 1 \ \text{ tale che } \ \left|\frac1n - 0\right| < \varepsilon \quad \forall n > N$$

Il punto da chiarire è: dato $\varepsilon$, chi è $N$? (Il cerchietto con il punto interrogativo della prof sopra "$\exists N \ge 1$" è proprio questa domanda.)

Passo 1: semplificare la disuguaglianza

Per $n \ge 1$, $\frac1n > 0$, quindi $\left|\frac1n - 0\right| = \frac1n$. Bisogna ottenere

$$\frac1n < \varepsilon \iff n > \frac1\varepsilon$$

(moltiplicando entrambi i membri per i numeri positivi $n$ e $\frac1\varepsilon$, il verso non cambiaMoltiplicando i membri di una disuguaglianza per un numero positivo il verso resta lo stesso.Campi ordinati (Q e R) →).

Passo 2: scegliere $N$

Ci serve un naturale $N$ tale che ogni $n > N$ soddisfi $n > \frac1\varepsilon$. Basta prendere $N > \frac1\varepsilon$: un tale $N \in \mathbb{N}$ esiste per l'archimedeità di $\mathbb{N}$Per ogni numero reale esiste un naturale più grande: qui, un naturale più grande di $1/\varepsilon$.Archimedeità di N → (ed è $\ge 1$, perché $\frac1\varepsilon > 0$).

Passo 3: verificare

Per ogni $n > N$ si ha $n > N > \frac1\varepsilon$, quindi $n > \frac1\varepsilon$, cioè $\frac1n < \varepsilon$. È esattamente quello che si chiedeva ✓.

Esempi numerici:

Si vede che $N$ dipende da $\varepsilon$ e cresce quando $\varepsilon$ diventa più piccolo.

Di più: il limite è per eccesso. Per ogni $n \ge 1$ vale $0 < \frac1n$, quindi da $N$ in poi $0 \le \frac1n < 0 + \varepsilon$: per la definizione di limite per eccesso$\lim a_n = \ell^+$ se, da un certo punto in poi, i termini stanno tra $\ell$ e $\ell + \varepsilon$: si avvicinano a $\ell$ da sopra.Limiti di successioni → si scrive $\lim_n \frac1n = 0^+$.

2. $\lim_n n = +\infty$

Cosa bisogna dimostrare

Per la definizione di limite $+\infty$$\lim a_n = +\infty$ se per ogni $L$ esiste un indice $N$ dopo il quale tutti i termini superano $L$.Limiti di successioni →:

$$\forall L \in \mathbb{R} \ \ \exists N \in \mathbb{N} \ \text{ tale che } \ n > L \quad \forall n > N$$

Scelta di $N$ e verifica

Fissato $L \in \mathbb{R}$ qualsiasi, per l'archimedeitàEsiste sempre un naturale più grande di un qualunque numero reale $L$.Archimedeità di N → esiste $N \in \mathbb{N}$ con $N > L$. Allora per ogni $n > N$:

$$n > N > L \quad \Longrightarrow \quad n > L$$

che è la tesi ✓.

Esempio: $L = 1000{,}5$: si prende $N = 1001$, e ogni $n \ge 1002$ è $> 1000{,}5$.

Errori comuni

• Fissare $N$ senza legarlo a $\varepsilon$ (o a $L$): l'ordine è "per ogni $\varepsilon$ esiste $N$", quindi $N$ si sceglie dopo $\varepsilon$ e in funzione di esso.
• Dire "prendo $n$ grande" senza dire quanto: la scelta corretta è $N > \frac1\varepsilon$, giustificata dall'archimedeità.
• Dimenticare che la condizione deve valere per tutti gli $n > N$, non solo per $n = N + 1$.