Criteri del rapporto e della radice per le serie

Lezione 34. Sono altri due criteri per le serie a termini positivi (definitivamente), da affiancare a quelli in Serie a termini non negativi e criteri del confrontoUna serie a termini >= 0 converge o diverge a +infinito, mai irregolare. Criterio del confronto (0 <= a_k <= b_k), del confronto asintotico (a_k ~ L b_k) e suo corollario con le serie notevoli: si studia una serie paragonandola a 1/n^alpha o a q^n.Serie a termini non negativi e criteri del confronto →. Esercizi: Esercizio 113 · serie con aⁿ, n! e nⁿ, Esercizio 114 · n^-log n) e (n!)^-1/n) con il confronto.

Criterio del rapporto

Sia $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ con $a_n > 0$ definitivamente, e supponiamo che esista $$L = \lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}.$$

1. Se $0 \le L < 1$, la serie converge.
2. Se $L > 1$ (anche $L = +\infty$), la serie diverge.

Con $L = 1$ il criterio non dice nulla: ci sono serie con $L = 1$ che convergono e altre che divergono.

• $\sum \frac1n$ diverge, e $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1/(n+1)}{1/n} = \frac{n}{n+1} \to 1$;
• $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, e $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n^2}{(n+1)^2} \to 1$.

In questi casi bisogna usare un altro criterio (di solito il confronto).

Dimostrazione

Punto 2 ($L > 1$). Per il criterio del rapporto per le successioni (se $\frac{a_{n+1}}{a_n} \to L > 1$ allora $a_n \to +\infty$), gli addendi tendono a $+\infty$, quindi non tendono a $0$: per la condizione necessariaSe una serie converge, i suoi addendi tendono a 0.Serie numeriche → la serie non converge; essendo a termini positivi, diverge.

Punto 1 ($0 \le L < 1$). Qui il criterio per le successioni dice solo che $a_n \to 0$, che non basta. Si ripete il suo ragionamento confrontando con una serie geometrica.

Si fissa $\varepsilon > 0$ abbastanza piccolo da avere $L + \varepsilon < 1$ (basta $\varepsilon < 1 - L$, che è positivo). Per la definizione di limite esiste $N$ tale che, per ogni $n \ge N$, $a_n > 0$ e

$$0 < \frac{a_{n+1}}{a_n} \le L + \varepsilon = q, \qquad \text{con } q < 1$$

Ora si applica questa disuguaglianza a catena, partendo da $n = N$:

• $n = N$: $\frac{a_{N+1}}{a_N} \le q$, cioè $a_{N+1} \le q\,a_N$;
• $n = N + 1$: $a_{N+2} \le q\,a_{N+1} \le q \cdot q\,a_N = q^2 a_N$;
• per induzione, per ogni $k \in \mathbb{N}$: $a_{N+k} \le q\,a_{N+k-1} \le \dots \le q^k a_N$.

Quindi

$$0 < a_{N+k} \le a_N \cdot q^k \qquad \forall k \in \mathbb{N}$$

A destra c'è una costante ($a_N$, con $N$ fissato) per il termine di una serie geometrica di ragione $0 < q < 1$, che converge. Per il criterio del confronto converge $\sum_{k=0}^{+\infty} a_{N+k}$, e per la proprietà 1 delle serie (i primi termini non cambiano il carattere) converge anche $\sum a_n$ ∎.

In sostanza il criterio del rapporto è un confronto con la serie geometrica: se ogni termine è (da un certo punto) al massimo $q < 1$ volte il precedente, gli addendi calano almeno come $q^n$.

Criterio della radice $n$-esima

Sia $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ con $a_n > 0$ definitivamente, e supponiamo che esista $$L = \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n}.$$

1. Se $0 \le L < 1$, la serie converge.
2. Se $L > 1$ (anche $L = +\infty$), la serie diverge.

Anche qui con $L = 1$ non si conclude nulla.

Perché è credibile. C'è un limite notevole che lega i due criteri: per $a_n > 0$, se esiste $\lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n}$ allora esiste anche $\lim_n \sqrt[n]{a_n}$ e sono uguali. Quindi è naturale che valga lo stesso enunciato. Si può anche vedere direttamente: se $\sqrt[n]{a_n} \le q < 1$ da un certo punto in poi, elevando alla $n$ si ha $a_n \le q^n$, e si confronta con la geometrica; se $\sqrt[n]{a_n} > 1$ da un certo punto in poi, allora $a_n > 1$ e gli addendi non tendono a $0$.

Quale criterio usare

Ci sono tipologie di esercizi in cui questi criteri funzionano meglio del confronto asintotico:

Esempi: Esercizio 113 · serie con aⁿ, n! e nⁿ (rapporto).

Errori comuni

• Concludere qualcosa con $L = 1$: il criterio non si applica; bisogna cambiare strada.
• Usarli con serie a termini di segno qualsiasi: servono addendi positivi (definitivamente). Per le serie di segno variabile si applicano a $|a_n|$ (convergenza assoluta).
• Semplificare male i fattoriali: $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$, quindi $\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}$; e $(n+1)^{n+1} = (n+1) \cdot (n+1)^n$.
• Usare il rapporto per serie come $\sum \frac{1}{n^\alpha}$: dà sempre $L = 1$.