Lezione 23Gerarchia degli infinitesimi, ordine e teorema degli zeri

Data: giovedì 6 novembre 2025 · Videolezione: n. 25 della playlist ("Lezione 23", 1h37)

Argomenti trattati

1. Esercizi: la regola $\log f(x) \sim f(x) - 1$ quando $f(x) \to 1$; un limite in $5^+$ riportato alla gerarchia con il cambio di variabile $y = \frac{1}{x - 5}$.
2. Gerarchia delle funzioni infinitesime per $x \to +\infty$ (reciproci della gerarchia degli infiniti) e per $x \to 0^+$ (sostituendo $\frac1x$ a $x$); $\lim_{x \to 0^+} x^\alpha|\log x|^p = 0$ e confronto con le potenze.
3. Ordine di infinito e di infinitesimo di successioni e funzioni; esempi ($\sin x$, $1 - \cos x$, una funzione senza ordine).
4. Teoremi sulle funzioni continue su un intervallo: teorema degli zeri, con le ipotesi essenziali e la dimostrazione per bisezione.

Teoria

• Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimoPrendendo i reciproci della gerarchia degli infiniti si ottiene quella degli infinitesimi per x → +∞, e mettendo 1/x al posto di x quella per x → 0⁺ (x^α|log x|^p → 0). L'ordine di infinito o di infinitesimo è l'esponente α della potenza a cui la funzione è asintotica, a meno di una costante.Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimo →
• Funzioni continue su un intervalloTeoremi sulle funzioni continue su un intervallo: zeri (con la bisezione), valori intermedi (f manda intervalli in intervalli), monotonia e continuità, continuità dell'inversa, Weierstrass (su [a, b] ci sono massimo e minimo).Funzioni continue su un intervallo → — teorema degli zeri
• Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni → — usati negli esercizi

Esercizi

• Esercizio 64 · limiti con log(a_n) ~ a_n - 1 e un cambio di variabile in 5⁺ — esercizio 8 (lezioni 13-16) rivisto ed esercizio 10
• Esercizio 65 · gerarchia degli infinitesimi a più infinito e in 0⁺ — esercizi 11 e 12
• Esercizio 66 · ordine di infinitesimo di una successione con esponenziale e arcoseno — esercizio 14