Integrale definito di Riemann

Lezione 36 (capitolo 6, paragrafi 2 e 3). Serve sapere cosa sono le SommatorieIl simbolo di sommatoria, le sue proprietà (linearità, additività, cambio di indice) e le somme notevoli di Gauss e geometrica.Sommatorie → e il limite di una successioneUna successione ha limite l se, da un certo indice in poi, i suoi termini stanno vicini a l quanto si vuole; definizioni con epsilon, limiti infiniti e unicità.Limiti di successioni →.

Lo scopo: l'area sotto un grafico

Lo scopo principale dell'integrale definito è calcolare aree di regioni del piano delimitate da curve.

Trapezoide di $f$. Sia $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ limitata, con $f(x) \ge 0$ per ogni $x \in [a, b]$. Il trapezoide di $f$ è la regione compresa tra il grafico e l'asse $x$: $$T = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x \in [a, b], \ 0 \le y \le f(x)\}$$

Si vuole definire e poi calcolare la sua area, che si indica con $|T|$. Per un rettangolo o un triangolo si sa già farlo; per una regione con un lato curvo no, e la definizione stessa di "area" va data.

L'idea (che sta alla base dell'integrale di Riemann):

1. si divide $[a, b]$ in $n$ pezzi uguali;
2. su ogni pezzo si costruisce un rettangolo alto quanto $f$ in un punto scelto del pezzo;
3. la somma delle aree dei rettangoli approssima $|T|$; facendo tendere $n \to +\infty$ i rettangoli diventano sempre più stretti e l'approssimazione sempre migliore: il limite è l'area.

La definizione (somme di Cauchy-Riemann)

Sia $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ limitata (qui non serve più che sia $\ge 0$). Per ogni $n \in \mathbb{N}^*$:

1. Suddivisione in parti uguali. L'intervallo $[a, b]$ è lungo $b - a$; diviso in $n$ parti, ogni parte è lunga $$h = \frac{b - a}{n}$$ e i punti di suddivisione sono $$x_0 = a, \quad x_1 = a + h, \quad x_2 = a + 2h, \quad \dots, \quad x_i = a + ih, \quad \dots, \quad x_n = a + nh = b.$$

2. Somma di Cauchy-Riemann. In ogni intervallino $[x_{i-1}, x_i]$ ($i = 1, \dots, n$) si sceglie un punto $c_i$ a piacere e si definisce la somma $n$-esima di Cauchy-Riemann $$S_n^f = \sum_{i=1}^{n} f(c_i)\,(x_i - x_{i-1}) = \sum_{i=1}^{n} f(c_i)\,\frac{b - a}{n}$$ Se $f \ge 0$, ogni addendo $f(c_i) \cdot \frac{b-a}{n}$ è l'area del rettangolo $R_i$ di base $[x_{i-1}, x_i]$ e altezza $f(c_i)$.

3. Il limite. Al variare di $n$ si ottiene una successione $(S_n^f)_n$; anzi, tante successioni, una per ogni modo di scegliere i punti $c_i$.

Se tutte le successioni $(S_n^f)_n$ hanno limite, e questi limiti sono finiti e uguali (cioè non dipendono da come si scelgono i $c_i$), si dice che $f$ è integrabile (secondo Riemann) in $[a, b]$, e il valore comune del limite è il suo integrale definito: $$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to +\infty} S_n^f$$

Perché si chiede che il limite non dipenda dai $c_i$: se rettangoli alti "in un punto qualsiasi" danno tutti lo stesso limite, quel limite è davvero una proprietà di $f$ (l'area), non della scelta fatta.

La notazione

Il simbolo ricalca la definizione:

$$\underbrace{\int_a^b}_{\text{"somma" per } x \in [a, b]} \underbrace{f(x)}_{f(c_i)} \ \underbrace{dx}_{x_i - x_{i-1}}$$

Il segno $\int$ è una S allungata (somma), $dx$ ricorda la base $x_i - x_{i-1}$ dei rettangoli, che diventa piccolissima. Inoltre la lettera $x$ è una variabile muta: non conta come si chiama, $$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt = \int_a^b f(s)\,ds.$$

Significato geometrico

Sia $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ integrabile.

1. Se $f(x) \ge 0$ per ogni $x \in [a, b]$: tutti i rettangoli stanno sopra l'asse, e $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = |T|$, l'area del trapezoide.
2. Se $f(x) \le 0$ per ogni $x \in [a, b]$: ogni $f(c_i) \le 0$, quindi ogni addendo è meno l'area del rettangolo (che sta sotto l'asse). Detto $T$ la regione tra il grafico e l'asse, $$\int_a^b f(x)\,dx = -|T|$$ (è l'area del trapezoide di $-f$, che è il ribaltato sopra l'asse, cambiata di segno).
3. Se $f$ ha segno qualsiasi: detta $T^+$ la parte di regione sopra l'asse e $T^-$ quella sotto, $$\int_a^b f(x)\,dx = |T^+| - |T^-|$$ L'integrale è un'area con segno: le parti sotto l'asse contano negativamente.

Esempio. Per $f(x) = \sin x$ su $[0, 2\pi]$ la "gobba" sopra l'asse ($[0, \pi]$) e quella sotto ($[\pi, 2\pi]$) sono uguali per simmetria, quindi $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = |T^+| - |T^-| = 0$, anche se l'area totale colorata non è zero.

Definizione equivalente (somme inferiori e superiori)

C'è un secondo modo di definire l'integrale, che dà lo stesso risultato. Sia $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ limitata.

1. Si prende una suddivisione arbitraria $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$: gli intervallini possono avere ampiezze diverse.
2. In ogni $[x_{i-1}, x_i]$ si considerano $$m_i = \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x), \qquad M_i = \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)$$ che sono numeri reali perché $f$ è limitata (è qui che serve l'ipotesi). Si definiscono la somma inferiore e la somma superiore $$s_n = \sum_{i=1}^{n} m_i\,(x_i - x_{i-1}), \qquad S_n = \sum_{i=1}^{n} M_i\,(x_i - x_{i-1})$$ Se $f \ge 0$: $s_n$ è l'area di rettangoli che stanno sotto il grafico (approssimano $|T|$ per difetto), $S_n$ di rettangoli che lo contengono (approssimano per eccesso). Sempre $s_n \le S_n$, perché $m_i \le M_i$.
3. Se, al variare di tutte le suddivisioni e di $n \in \mathbb{N}^*$, $$\sup\{s_n\} \quad \text{e} \quad \inf\{S_n\}$$ sono finiti e uguali, $f$ è integrabile e $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \inf\{S_n\} = \sup\{s_n\}$.

L'idea: l'area vera sta tra ogni approssimazione per difetto e ogni approssimazione per eccesso; se le migliori approssimazioni dei due tipi si "toccano", il numero in mezzo è uno solo ed è l'area. (È lo stesso schema di separazioneLe tre proprietà equivalenti che R ha e Q no: continuità, separazione ed esistenza del sup; densità di Q in R.Completezza di R (continuità, separazione, sup) → tra due insiemi.)

Le definizioni non servono a calcolare

Queste definizioni non sono operative: calcolare un limite di somme di Cauchy-Riemann è difficile anche per funzioni semplicissime. Per calcolare davvero gli integrali servirà il teorema fondamentale del calcolo integrale (lezioni successive). Si riesce solo in casi molto semplici, come i due che seguono.

Esempio 1: la funzione costante

Sia $f(x) = c$ su $[a, b]$, con $c \in \mathbb{R}$. Qualunque siano i punti $c_i$, vale $f(c_i) = c$, quindi $$S_n^f = \sum_{i=1}^{n} c \cdot \frac{b - a}{n} = n \cdot c \cdot \frac{b - a}{n} = c\,(b - a)$$ (sono $n$ addendi tutti uguali). Ogni successione di somme è costante uguale a $c(b - a)$, quindi tende a $c(b - a)$ qualunque sia la scelta dei $c_i$: $$\int_a^b c\,dx = c\,(b - a)$$ Se $c > 0$ è l'area del rettangolo di base $b - a$ e altezza $c$: è proprio quello che ci si aspetta.

Esempio 2: $f(x) = x$ su $[0, 1]$

Qui $h = \frac1n$ e $x_i = \frac in$. Supponendo già di sapere che $f$ è integrabile (lo garantisce il teorema sotto: è continua), basta una scelta dei $c_i$: si prende l'estremo destro, $c_i = x_i = \frac in$. Allora $$S_n^f = \sum_{i=1}^{n} \frac in \cdot \frac1n = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n + 1}{2n} \longrightarrow \frac12$$ usando la somma dei primi $n$ numeri$1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ (formula di Gauss).Sommatorie →. Quindi $\int_0^1 x\,dx = \frac12$: è l'area del triangolo di vertici $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$, cioè $\frac{1 \cdot 1}{2}$. Già con $f(x) = x^2$ servirebbe la somma dei quadrati, e per funzioni come $\sin x$ o $e^x$ il conto diventa impraticabile.

Non tutte le funzioni limitate sono integrabili

Controesempio: la funzione di Dirichlet. $$f(x) = \begin{cases} 1 & x \in [0, 1] \cap \mathbb{Q} \\ 0 & x \in [0, 1] \setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$ È limitata ($0 \le f \le 1$), ma "salta" continuamente tra $0$ e $1$: in ogni intervallino, per quanto piccolo, ci sono sia razionali sia irrazionali (densità di $\mathbb{Q}$ e degli irrazionali in $\mathbb{R}$).

• Prima scelta: tutti i $c_i$ razionali. Allora $f(c_i) = 1$ e $S_n^1 = \sum_{i=1}^{n} 1 \cdot \frac1n = n \cdot \frac1n = 1$, quindi $\lim_n S_n^1 = 1$.
• Seconda scelta: tutti i $c_i$ irrazionali. Allora $f(c_i) = 0$ e $S_n^2 = 0$, quindi $\lim_n S_n^2 = 0$.

Due successioni di somme con limiti diversi: $f$ non è integrabile. (Con l'altra definizione: in ogni intervallino $m_i = 0$ e $M_i = 1$, quindi ogni $s_n = 0$ e ogni $S_n = 1$: $\sup\{s_n\} = 0 \ne 1 = \inf\{S_n\}$.)

Teorema 1 (classi di funzioni integrabili)

Sia $f : [a, b] \to \mathbb{R}$. $f$ è sicuramente integrabile in $[a, b]$ se:

1. $f$ è continua in $[a, b]$ (anzi basta che sia limitata in $[a, b]$ e continua tranne che in un numero finito di punti);
2. oppure $f$ è monotona in $[a, b]$;
3. oppure $f$ è definita a tratti: esiste $c$ con $a < c < b$ e $$f(x) = \begin{cases} f_1(x) & x \in [a, c[ \\ f_2(x) & x \in [c, b] \end{cases}$$ con $f_1$ integrabile in $[a, c]$ e $f_2$ integrabile in $[c, b]$. In questo caso $$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f_1(x)\,dx + \int_c^b f_2(x)\,dx.$$

Il punto 3 dice che l'area sotto un grafico "spezzato" in $c$ è la somma delle due aree; il valore di $f$ nel solo punto $c$ non conta (un singolo punto ha base nulla). La funzione di Dirichlet non rientra in nessun caso: è discontinua in ogni punto e non è monotona.

Riassunto

Errori comuni

• Pensare che l'integrale sia sempre un'area positiva: è un'area con segno; per l'area "vera" di una regione che attraversa l'asse bisogna separare le parti (o integrare $|f|$).
• Dimenticare l'ipotesi "$f$ limitata": senza di essa $m_i$ e $M_i$ possono non essere numeri reali e la definizione non ha senso (le funzioni non limitate richiederanno gli integrali impropri).
• Credere che limitata basti per essere integrabile: la funzione di Dirichlet è limitata ma non integrabile.